§ 1.4. Системы счисления и представление информации в компьютере

В предыдущих параграфах числа переводились из одной системы в другую на бумаге. Пора заглянуть внутрь машины: где лежит число, сколько места ему отведено, как хранить минус и откуда берутся коды из цифр и латинских букв, которыми обозначают символы текста.

Оперативная память компьютера разделена на ячейки. Ячейка — физическая система, собранная из одинаковых элементов, и у каждого элемента ровно два устойчивых состояния. Одно из них принимают за нуль, другое — за единицу, так что элемент хранит одну двоичную цифру, то есть один бит. В записи двоичного числа каждая цифра занимает свой разряд, поэтому и сами элементы ячейки называют разрядами или битами. Нумеруют их справа налево, начиная с нуля: в ячейке из n разрядов самый правый, младший разряд имеет номер 0, а самый левый, старший, — номер n − 1 (рис. 1).

Целые числа хранят в ячейках из 8, 16, 32 или 64 разрядов; восемь разрядов составляют один байт. Способов записать целое число в ячейку два: беззнаковый, когда в ячейке лежит только само число, и знаковый, когда один разряд расходуется на знак.

Беззнаковое представление подходит величинам, которые по смыслу не бывают меньше нуля. Это адреса ячеек памяти, всевозможные счётчики — например, количество символов в тексте, — дата и время, ширина и высота изображения в пикселях.

Сколько разных чисел помещается в ячейку? Каждый разряд независимо от соседей принимает одно из двух значений. У одного разряда два варианта, у двух — четыре, у трёх — восемь: каждый новый разряд удваивает количество вариантов. Значит, ячейка из n разрядов имеет 2ⁿ различных состояний, и в ней можно представить 2ⁿ различных целых чисел. Наименьшее беззнаковое число — нули во всех разрядах, то есть ноль. Наибольшее получается, когда во всех разрядах стоят единицы, и равно 2ⁿ − 1: единицу вычитают потому, что одно из 2ⁿ состояний уже отдано нулю. Готовые границы для 8, 16 и 32 разрядов собраны в таблицу на рис. 2.

Пример 1. Какое наибольшее беззнаковое число помещается в ячейку из пяти разрядов?

Дано: пять разрядов. Решение. Заполняем все разряды единицами: 11111₂ = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31. По формуле выходит то же самое: 2⁵ − 1 = 32 − 1 = 31. Ответ: 31.

Чтобы получить беззнаковое представление конкретного числа, достаточно двух действий. Сначала число переводят в двоичную систему. Потом слева дописывают столько нулей, сколько не хватает до нужного количества разрядов. Нули слева незначащие: значение числа от них не меняется, они просто заполняют свободные клетки ячейки.

Пример 2. Представим число 45 в беззнаковом восьмиразрядном формате.

Дано: 45₁₀, восемь разрядов. Решение. Переводим делением на 2: 45 = 101101₂, в записи шесть цифр. До восьми не хватает двух, поэтому дописываем слева два нуля (рис. 1). Ответ: 00101101. В шестнадцатиразрядной ячейке то же число выглядело бы так: 0000000000101101.