§ 9. Уравнение фигуры. Уравнение окружности

На уроках алгебры в 7 классе вы строили графики уравнений с двумя переменными. В геометрии удобно идти в обратную сторону: сначала дана фигура, а мы подбираем уравнение, которое её описывает. Тогда вопросы о фигуре превращаются в вычисления — на этом держится метод координат.

Начнём с примера (рис. 1). На параболе отмечена точка M с абсциссой 2; её ордината равна 4, и равенство 4 = 2² верно. Так устроена любая точка этой параболы: ордината равна квадрату абсциссы, то есть координаты удовлетворяют уравнению y = x². Верно и обратное: если пара чисел (x; y) — решение уравнения y = x², то точка с такими координатами лежит на параболе. А точка N(−2; 1) на параболе не лежит, и уравнение это «чувствует»: 1 ≠ (−2)².

Определение. Уравнение с переменными x и y называют уравнением фигуры F на координатной плоскости, если выполнены два условия: 1) у любой точки фигуры F координаты являются решением уравнения; 2) любое решение уравнения — это координаты какой-то точки фигуры F.

Нужны оба условия: первое говорит, что вся фигура «помещается» в множество решений, второе — что лишних решений нет. Для куска параболы между точками (0; 0) и (2; 4) уравнение y = x² не годится: у него есть решение (3; 9), а такой точки на куске нет.

Если уравнение является уравнением фигуры, говорят, что оно задаёт эту фигуру. Уравнение y = 2x − 1 задаёт прямую, y = 1/x — гиперболу (рис. 2), x = −2 — прямую, параллельную оси ординат, а y = √x — половину параболы x = y², «лежащей на боку»: только её точки с неотрицательной ординатой. Фигуру, заданную уравнением, можно считать геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Теперь главное — окружность.

Теорема 9.1. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке A(a; b) имеет вид (x − a)² + (y − b)² = R².

Доказательство состоит из двух шагов — по одному на каждое условие определения (рис. 3).

Шаг 1: от точки окружности к решению. Возьмём на окружности любую точку M(x; y). По определению окружности AM = R. По формуле расстояния между точками (§ 8) получаем AM = √((x − a)² + (y − b)²); на рисунке это теорема Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами |x − a|, |y − b| и гипотенузой R.