§ 8. Расстояние между двумя точками с заданными координатами. Координаты середины отрезка

Глава 3 переводит геометрию на язык координат: когда у точки есть пара чисел, длину отрезка и его середину можно найти счётом, без построений. Здесь — два первых инструмента такого счёта.

Координатная плоскость

Координатную плоскость вы знаете с шестого класса: это две перпендикулярные числовые прямые с общим началом O. Горизонтальная — ось абсцисс x, вертикальная — ось ординат y (рис. 1), поэтому такую плоскость называют плоскостью xy. Каждой точке отвечает пара чисел, абсцисса и ордината, например K(2; 1). Это декартовы координаты — они названы в честь французского математика Рене Декарта.

Расстояние на координатной прямой

Если точки A и B лежат на координатной прямой и имеют координаты x₁ и x₂, длина отрезка AB равна модулю разности координат (рис. 2):

AB = |x₂−x₁|

Модуль стоит потому, что длина не бывает отрицательной, а какая из точек правее, заранее неизвестно. Для A(−2) и B(3) выходит |3 − (−2)| = 5, и в другом порядке |−2 − 3| = 5.

Расстояние между точками плоскости

Пусть теперь точки A и B с координатами (x₁; y₁) и (x₂; y₂) лежат на плоскости, а отрезок AB не параллелен осям (рис. 3).

Шаг 1. Проведём через A прямую, перпендикулярную оси абсцисс, а через B — перпендикулярную оси ординат. Они пересекутся в точке C(x₁; y₂) под прямым углом, ведь сами оси перпендикулярны.

Шаг 2. Катеты треугольника ACB — расстояния вдоль осей: у концов отрезка BC одинаковые ординаты, у концов AC одинаковые абсциссы. Поэтому

BC = |x₂−x₁|, AC = |y₂−y₁|

Шаг 3. По теореме Пифагора AB² = BC² + AC². Квадрат модуля числа равен квадрату самого числа, так что модули пропадают, и остаётся извлечь корень.