§ 7. Длина окружности. Площадь круга

Окружность — кривая линия, и приложить к ней линейку, как к отрезку, не получится. Можно обмотать вокруг банки нитку, распрямить её и измерить, но так мы узнаем длину одной-единственной окружности, да ещё приблизительно. Геометрии нужен способ, который годится для любой окружности и даёт точную формулу. Помогает правильный многоугольник: его периметр мы считать умеем, а вписанный многоугольник с большим числом сторон почти сливается с окружностью.

Посмотрите на рис. 1. В одну окружность с центром O вписаны три правильных многоугольника: квадрат, восьмиугольник и шестнадцатиугольник. Квадрат заметно отстаёт от окружности, восьмиугольник прижимается к ней ближе, а шестнадцатиугольник на рисунке уже трудно отличить от неё. Обозначим длину окружности буквой C, а периметр вписанного правильного n-угольника — Pₙ. Каждая сторона вписанного многоугольника — хорда, а хорда короче дуги, которую она стягивает, поэтому Pₙ всегда меньше C. Но с ростом числа сторон разрыв сокращается: C − P₄ > C − P₈ > C − P₁₆.

Если число сторон увеличивать неограниченно, периметр подойдёт к длине окружности сколь угодно близко. Смысл этих слов такой: какое бы маленькое положительное число мы ни задали — одну миллионную, одну миллиардную, — найдётся n, начиная с которого разность C − Pₙ станет меньше этого числа. Именно так длину окружности и понимают: это число, к которому приближаются периметры вписанных в неё правильных многоугольников, когда число их сторон растёт.

Проверьте это на живом чертеже. Радиус окружности на нём равен 1, а ползунок меняет число сторон n. Зелёным выделен один из треугольников, на которые радиусы делят многоугольник, а в табло — периметр, площадь и то, сколько им не хватает до окружности и до круга. Запустите анимацию и следите за разностью C − Pₙ: она всё время положительна, но быстро тает.

Длина окружности и её диаметр

Теперь докажем главное свойство длины окружности. Возьмём две окружности: одну радиуса R, другую радиуса R'. Впишем в каждую правильный многоугольник с одним и тем же числом сторон n (рис. 2) и обозначим их стороны aₙ и a'ₙ.

Шаг 1. Из § 6 известно, как сторона правильного вписанного n-угольника выражается через радиус: aₙ = 2R sin (180°/n). Поэтому периметры равны Pₙ = n · aₙ = n · 2R sin (180°/n) и P'ₙ = n · a'ₙ = n · 2R' sin (180°/n).

Шаг 2. Разделим один периметр на другой. Множители n и sin (180°/n) у них общие и сокращаются: Pₙ : P'ₙ = 2R : 2R'. Это равенство верно при любом натуральном n, начиная с 3, — и для треугольников, и для тысячеугольников.

Шаг 3. Будем неограниченно увеличивать n. Периметр Pₙ сколь угодно мало отличается от C, периметр P'ₙ — от C', поэтому и отношение периметров сколь угодно мало отличается от отношения C : C'. Но при каждом n это отношение равно одному и тому же числу 2R : 2R'. Постоянное число не может подходить к другому числу сколь угодно близко и при этом с ним не совпадать, значит, C : C' = 2R : 2R'.

Шаг 4. Переставим члены пропорции: C : 2R = C' : 2R'. Слева стоит отношение длины первой окружности к её диаметру, справа — второй окружности к её диаметру. Окружности мы брали какие угодно, и потому доказано утверждение.

Теорема. Для любой окружности отношение длины окружности к диаметру есть одно и то же число.

Это число знакомо с 6 класса: его обозначают греческой буквой π (читается «пи»). Из равенства C : 2R = π получаем формулу длины окружности:

C = 2πR, или, через диаметр d = 2R, C = πd.

О числе π

Число π иррациональное: его нельзя записать ни обыкновенной дробью, ни конечной десятичной, и цифры после запятой идут без конца и без повторяющегося периода. Вот первые из них: 3,14159265358979, а дальше знаки идут без конца. В задачах чаще всего берут приближение π ≈ 3,14. Если же в условии сказано «ответ запишите через π», букву π оставляют в ответе и ничего не округляют: длина окружности радиуса 5 см равна 10π см, и это точный ответ.

Первую строгую оценку числа π получил древнегреческий учёный Архимед в III веке до нашей эры. Он вписывал в окружность и описывал около неё правильные 96-угольники и сравнивал их периметры с диаметром. Вышло 223/71 < π < 22/7, то есть π больше 3,1408, но меньше 3,1429, откуда и следует π ≈ 3,14. Часть его работы можно повторить на живом чертеже: поставьте n = 96 и сравните Pₙ : 2R с числом π. Сегодня компьютеры вычислили триллионы знаков числа π, но школьной задаче хватает двух.

Самое грубое приближение даёт правильный шестиугольник.