§ 6. Правильные многоугольники и их свойства

В этой главе речь пойдёт о многоугольниках особого вида. В 8 классе вы видели, что описать окружность удаётся не около всякого четырёхугольника, а вписать — не во всякий. Сейчас мы познакомимся с целым семейством многоугольников, у которых есть обе окружности сразу, да ещё и с общим центром.

Определение. Многоугольник называют правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Два примера вы встречали давно, просто не называли их так: равносторонний треугольник и есть правильный треугольник, а квадрат — правильный четырёхугольник. На рисунке 1 изображены правильные пятиугольник и восьмиугольник: чёрточки отмечают равные стороны, дужки — равные углы.

В определении два условия, и ни одно не следует из другого (рис. 2). У ромба все стороны равны, но его углы бывают, например, 60° и 120°, — такой ромб не правильный. У прямоугольника все углы прямые, но соседние стороны разной длины, — он тоже не правильный. Оба условия сразу выполняются только у квадрата. Исключение одно — треугольник: если у треугольника равны все стороны, то и все его углы равны, по 60°, так что равносторонний треугольник всегда правильный.

Свойство первое: правильный многоугольник выпуклый. В учебнике это теорема 6.1; её доказательство мы разберём в конце параграфа, а пока воспользуемся самим фактом. Сумма углов выпуклого n-угольника нам известна: 180° · (n − 2). У правильного многоугольника все n углов равны, поэтому каждый из них получается делением суммы на n:

α = 180° · (n − 2) / n.

Например, у правильного пятиугольника каждый угол равен 180° · 3 / 5 = 108°, у правильного восьмиугольника — 180° · 6 / 8 = 135°, у десятиугольника — 144°. Чем больше сторон, тем ближе угол к 180°, но развёрнутым он не становится никогда. Это видно, если переписать формулу иначе: 180° · (n − 2) / n = 180° − (360°) / n, а вычитаемое (360°) / n всегда больше нуля.

Свойство второе — главное в параграфе. У правильного треугольника есть точка, которая одинаково удалена и от всех вершин, и от всех сторон: точка пересечения его биссектрис. У квадрата такая точка — пересечение диагоналей. Следующая теорема утверждает, что так устроен любой правильный многоугольник.

Теорема 6.2. Любой правильный многоугольник является одновременно вписанным в окружность и описанным около окружности, причём центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Доказательство проведём по шагам (рис. 3). Пусть A₁A₂A₃…Aₙ — правильный n-угольник.

Шаг 1. Разделим пополам углы при вершинах A₁ и A₂ биссектрисами, их общую точку обозначим O и соединим её с вершиной A₃. Углы на рисунке пронумерованы: ∠1 = ∠OA₁A₂, ∠2 = ∠OA₂A₁, ∠3 = ∠OA₂A₃.

Шаг 2. Сравним треугольники OA₁A₂ и OA₂A₃. У них A₁A₂ = A₂A₃, потому что это стороны правильного многоугольника; сторона OA₂ общая; ∠2 = ∠3, потому что OA₂ — биссектриса угла A₂. Значит, треугольники равны по первому признаку, то есть по двум сторонам и углу между ними.

Шаг 3. Углы 1 и 2 — половины равных углов A₁ и A₂, поэтому ∠1 = ∠2. Треугольник OA₁A₂ с двумя равными углами при основании равнобедренный: OA₁ = OA₂. Равенство треугольников из шага 2 добавляет OA₃ = OA₁. Итак, OA₁ = OA₂ = OA₃.

Шаг 4. Треугольник OA₂A₃ тоже равнобедренный, поэтому ∠OA₃A₂ = ∠3, то есть отрезок OA₃ делит угол A₃ пополам — точно так же, как OA₂ делил угол A₂. Значит, всё рассуждение можно повторить для треугольников OA₂A₃ и OA₃A₄, потом для OA₃A₄ и OA₄A₅ и так далее, обходя многоугольник по кругу. Получаем OA₁ = OA₂ = … = OAₙ. Точка O одинаково удалена от всех вершин, и окружность с центром O радиуса OA₁ проходит через каждую вершину: она описана около многоугольника.

Шаг 5. Равнобедренные треугольники OA₁A₂, OA₂A₃, …, OAₙA₁ равны друг другу, поэтому равны и высоты этих треугольников, опущенные из общей вершины O. Высота такого треугольника — это расстояние от точки O до стороны многоугольника. Значит, точка O одинаково удалена от всех сторон, и окружность с центром O, радиус которой равен этой высоте, касается каждой стороны: она вписана в многоугольник. Центр у обеих окружностей один и тот же — точка O. Теорема доказана.

Общий центр описанной и вписанной окружностей называют центром правильного многоугольника. Угол, под которым сторона видна из центра, например угол A₁OA₂, называют центральным углом правильного многоугольника. Все n центральных углов вместе составляют полный угол, поэтому каждый из них равен (360°) / n: у шестиугольника — 60°, у двенадцатиугольника — 30°.