§ 5. Формулы для нахождения площади треугольника

Из восьмого класса вы знаете формулу площади треугольника через сторону и проведённую к ней высоту: S = 1/2 · a · h. Она удобна, когда высота дана или легко находится. Но в задачах чаще известны стороны и углы, а высоты нет вовсе. Тригонометрия из § 1–3 позволяет выразить высоту через сторону и синус угла, и из старой формулы сразу вырастает несколько новых. Им и посвящён параграф: мы выведем четыре формулы площади треугольника и одну — для многоугольника, описанного около окружности.

Обозначения привычные: в треугольнике ABC сторона BC = a, сторона AC = b, сторона AB = c, а углы при вершинах A, B и C обозначаем α, β и γ.

Площадь через две стороны и угол между ними

Теорема 5.1. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.

Для сторон a и b, между которыми лежит угол C, равный γ, это означает: S = 1/2 · a · b · sin γ.

Доказательство. Шаг 1. Проведём из вершины B высоту BD к прямой AC. По старой формуле площадь равна половине произведения стороны AC на высоту к ней: S = 1/2 · BD · b. Остаётся найти высоту BD, а она зависит от того, каким получился угол γ. Разберём три случая.

Шаг 2. Угол γ острый (рис. 1). Точка D лежит на самой стороне AC, треугольник BDC прямоугольный с прямым углом при D, и отрезок BC = a в нём гипотенуза. Катет, лежащий против угла γ, равен гипотенузе, умноженной на синус этого угла: BD = a sin γ.

Шаг 3. Угол γ тупой (рис. 2). Теперь высота падает мимо стороны: точка D оказывается на продолжении AC за вершину C. В прямоугольном треугольнике BDC острый угол при вершине C равен уже не γ, а смежному с ним углу 180° − γ. Поэтому BD = a sin (180° − γ). Но синусы смежных углов равны — это доказано в § 1, — и снова выходит, что высота равна a sin γ.

Шаг 4. Угол γ прямой. Тогда стороны a и b — катеты, высотой к стороне b служит сама сторона a, и площадь равна половине произведения катетов. Так как sin 90° = 1, формула 1/2 · a · b · sin γ даёт то же самое.

Шаг 5. Во всех трёх случаях высота равна a sin γ. Подставим её в формулу из первого шага и получим S = 1/2 · a · b · sin γ. Теорема доказана.

Обратите внимание, где в доказательстве работает тригонометрия. Именно определение синуса для углов от 0° до 180° позволило обойтись одной формулой: у смежных углов синус один и тот же, поэтому тупой угол не требует отдельного правила.

Живой чертёж показывает теорему в движении. Стороны CA = 5 и CB = 4 закреплены, а ползунок поворачивает сторону CB вокруг вершины C и тем самым меняет угол γ между ними; число на ползунке — это и есть величина угла у дуги. Красный пунктир — высота BD. Пока угол растёт до 90°, высота удлиняется, а когда угол становится тупым, она снова укорачивается, и её основание уходит на продолжение стороны CA. Под чертежом площадь считается дважды: по новой формуле через синус и по старой — через основание CA и высоту BD, длина которой взята прямо из координат вершин. Числа совпадают при любом положении ползунка.

Из сцены видны два следствия. Первое: при двух данных сторонах наибольшая площадь получается, когда угол между ними прямой. Синус не бывает больше единицы и равен ей только при 90°, поэтому для сторон 4 и 5 площадь не превысит 10 ни при каком угле. Второе: серый треугольник с теми же двумя сторонами и углом 180° − γ всегда имеет ту же площадь, что и основной. Его вершина B₁ стоит на той же высоте, что и B, — пунктир между ними идёт параллельно стороне CA. Например, острый угол 40° и тупой угол 140° дают одну и ту же площадь.

Формула Герона

Если известны все три стороны, угол можно найти по теореме косинусов, а потом площадь — по теореме 5.1. Этот путь можно пройти один раз в общем виде, и тогда получится формула, в которой углов нет вовсе. Её связывают с именем Герона Александрийского — механика и математика, жившего в Александрии во второй половине I века нашей эры.

Понадобится полупериметр — половина периметра треугольника: p = (a + b + c) / 2.

Теорема 5.2 (формула Герона). Если a, b и c — стороны треугольника, а p — его полупериметр, то его площадь находится так: S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)).

Доказательство идёт через квадрат площади — так проще избавиться от синуса.

Шаг 1. По теореме 5.1 имеем S = 1/2 · a · b · sin γ, откуда S² = 1/4 · a² · b² · sin² γ.

Шаг 2. Основное тригонометрическое тождество даёт sin² γ = 1 − cos² γ, а эта разность раскладывается на множители: (1 − cos γ)(1 + cos γ).