§ 4. Решение треугольников

Любой треугольник описывают шесть величин: длины трёх его сторон и величины трёх углов. Их называют основными элементами треугольника. Обозначения в этом параграфе постоянные (рис. 1): сторону BC обозначаем буквой a, сторону CA — буквой b, сторону AB — буквой c, а углы при вершинах A, B и C — буквами α, β и γ. Главное в этих обозначениях — пары: сторона a лежит против угла α, сторона b — против угла β, сторона c — против угла γ. Теорема синусов связывает как раз такие пары, поэтому путаница в буквах сразу даёт неверный ответ.

Шесть элементов не независимы. Признаки равенства треугольников говорят, что трёх подходящих элементов достаточно, чтобы треугольник был задан полностью, а остальные три становятся их следствием. Отсюда задача, которой посвящён параграф. Пусть известны три основных элемента, и среди них есть хотя бы одна сторона. Тогда в учебнике говорят так:

Решить треугольник – это значит найти три оставшихся элемента треугольника.

Зачем нужна хотя бы одна сторона? Три угла задают только форму. Треугольники с углами 50°, 60° и 70° бывают крошечными и огромными — все они подобны друг другу, и длину стороны по одним углам не узнать.

Для прямоугольного треугольника мы это уже умеем: там хватало синуса, косинуса и тангенса острого угла. Для произвольного у нас теперь два инструмента — теорема косинусов из § 2 и теорема синусов из § 3, а при них простое правило: сумма углов треугольника равна 180°. Этого хватает для любого треугольника.

Договоримся о точности. На практике углы и стороны почти никогда не выражаются круглыми числами, поэтому значения синусов и косинусов берут с калькулятора или из таблицы и округляют до сотых. Углы, найденные по синусу или косинусу, округляют до целых градусов, а длины сторон — до десятых. Из-за округлений в ответах пишут знак «≈». В задачах теста нужные значения синусов и косинусов даны прямо в условии: брать их нужно оттуда, тогда ответ совпадёт с ключом.

Дальше разберём четыре случая — по тому, какие три элемента известны.

Случай 1. Сторона и два угла.

Задача 1 (рис. 2). Дано: a = 18 см, β = 30°, γ = 105°. Решите треугольник.

Решение. Шаг 1. Третий угол находим без всякой тригонометрии: α = 180° − (β + γ) = 180° − 135° = 45°. Шаг 2. Теперь известна пара «сторона a и противолежащий угол α», и теорема синусов даёт остальные стороны. Из пропорции (b) / (sin β) = (a) / (sin α) получаем b = (a sin β) / (sin α), то есть b = a sin β : sin α. Берём sin 30° = 0,5 и sin 45° ≈ 0,71: b ≈ 18 · 0,5 : 0,71 ≈ 12,7 (см). Шаг 3. Точно так же c = (a sin γ) / (sin α). Угол γ тупой, и его синус берём через смежный угол: sin 105° = sin 75° ≈ 0,97. Тогда c ≈ 18 · 0,97 : 0,71 ≈ 24,6 (см). Ответ: α = 45°, b ≈ 12,7 см, c ≈ 24,6 см.

Проверка здравым смыслом: против самого большого угла, 105°, лежит самая длинная сторона c, а против самого маленького, 30°, — самая короткая b. Так и должно быть.

Случай 2. Две стороны и угол между ними.

Задача 2 (рис. 3). Дано: a = 9 см, b = 5 см, γ = 40°. Решите треугольник.

Решение. Шаг 1. Теорема синусов здесь бессильна: против известных сторон лежат неизвестные углы. Зато угол γ заключён между a и b, и третья сторона находится по теореме косинусов: c² = a² + b² − 2ab cos γ.