§ 3. Теорема синусов

Второй признак равенства треугольников говорит вот что: сторона вместе с двумя прилежащими к ней углами задаёт треугольник однозначно. Отсюда следует важное для практики: если эти три элемента известны, то и две оставшиеся стороны определены — надо лишь научиться их находить. С третьим углом сложности нет, он получается вычитанием двух известных из 180°. А со сторонами сложнее. Теорема Пифагора требует прямого угла, теорема косинусов — двух сторон и угла между ними, и ни то ни другое сейчас не дано. Нужно правило, которое связывает стороны треугольника прямо с его углами. Такое правило есть, и добывается оно неожиданным путём — через окружность, описанную около треугольника.

Начнём со вспомогательного утверждения. То, что доказывают не ради него самого, а ради опоры в главной теореме, принято называть леммой.

Лемма. Хорда окружности равна произведению диаметра и синуса любого вписанного угла, опирающегося на эту хорду.

Угол здесь можно взять любой из тех, что опираются на хорду, — в этом вся сила утверждения. Доказательство разберём по шагам (рис. 1).

Шаг 1. Пусть MN — хорда некоторой окружности, а её центр — точка O. Сначала возьмём вершину вписанного угла не произвольно, а особым образом: проведём из точки M диаметр и его второй конец назовём точкой P. Точка P лежит на окружности, поэтому угол MPN — вписанный, и опирается он как раз на нашу хорду. Обозначим величину этого угла буквой α.

Шаг 2. Угол MNP тоже вписанный, а опирается он на диаметр MP. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой — это мы знаем из восьмого класса. Значит, треугольник MPN прямоугольный, и прямой угол у него при вершине N.

Шаг 3. В прямоугольном треугольнике катет равен произведению гипотенузы на синус противолежащего угла. Против угла α лежит катет MN, а гипотенузой служит отрезок MP. Получаем MN = MP sin α, причём MP — это диаметр.

Шаг 4. Осталось избавиться от особого выбора вершины. Любой вписанный угол, опирающийся на хорду MN, либо равен α — если его вершина взята на той же дуге, что и точка P, — либо равен 180° − α, когда вершина лежит на другой дуге. Но у смежных углов синусы одинаковы, это доказано в § 1: sin(180° − α) = sin α. Поэтому найденное равенство годится для каждого такого угла, а не только для выбранного вначале. Лемма доказана.

Теперь главное утверждение параграфа.

Теорема 3.1. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Это и есть теорема синусов.

Докажем её (рис. 2). Обозначения возьмём привычные: в треугольнике ABC сторона BC = a, сторона CA = b, сторона AB = c. Иначе говоря, a = BC, b = AC, c = AB — строчная буква обозначает сторону, лежащую против одноимённой заглавной. Опишем около треугольника окружность и обозначим её радиус буквой R. Такая окружность есть у любого треугольника, а её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Шаг 1. Сторона BC — хорда описанной окружности, а угол A — вписанный угол, который на эту хорду опирается.