§ 2. Теорема косинусов

Первый признак равенства треугольников говорит: если у двух треугольников совпали пара сторон и зажатый между ними угол, то фигуры равны. Значит, эти три величины полностью определяют треугольник — а раз он определён, определены и все остальные его элементы. В частности, третью сторону не нужно измерять: её можно вычислить. Формулу, которая это делает, даёт теорема, с которой начинается девятый класс (рис. 1).

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла между ними.

Для треугольника ABC это записывают так: BC² = AB² + AC² − 2 · AB · AC · cos A. Каждая сторона получает своё равенство, и устроены они одинаково: слева квадрат стороны, справа — квадраты двух других сторон и угол, который лежит против стороны, стоящей слева.

Доказательство. Проверим равенство для стороны BC. Всё зависит от того, каков угол A, и случаев ровно три.

Случай первый: угол A острый (рис. 2). Хотя бы один из двух оставшихся углов тоже острый — пусть это будет угол C. Проведём высоту BD. При остром угле A её основание D попадает внутрь стороны AC, и дальше работают два прямоугольных треугольника.

1) Из треугольника ABD: BD = AB · sin A и AD = AB · cos A. 2) Отрезок DC — это то, что осталось от стороны: DC = AC − AD, то есть DC = AC − AB · cos A. 3) Из треугольника BDC по теореме Пифагора: BC² = BD² + DC². 4) Подставим и раскроем квадрат: BC² = AB² · sin² A + AC² − 2 · AB · AC · cos A + AB² · cos² A. 5) Соберём первое и последнее слагаемые: AB² · (sin² A + cos² A) = AB², потому что сумма квадратов синуса и косинуса одного угла равна единице. 6) Остаётся ровно то, что нужно: BC² = AB² + AC² − 2 · AB · AC · cos A.

Случай второй: угол A тупой (рис. 3). Теперь высота BD падает не на саму сторону, а на её продолжение за точку A. Со стороной AB высота образует угол BAD (на рисунке 3 он помечен буквой β), который дополняет угол A до развёрнутого. Синус у таких углов общий, а косинусы противоположны, поэтому AD = −AB · cos A. Знак минус здесь не описка: косинус тупого угла отрицателен, а длина отрезка обязана быть положительной, и минус как раз возвращает ей плюс.