§ 1. Тригонометрические функции угла от 0° до 180°

Синус, косинус и тангенс появились в восьмом классе как отношения сторон прямоугольного треугольника. Такое определение годится только для острого угла: других углов, кроме прямого, в прямоугольном треугольнике не бывает. Между тем в произвольном треугольнике угол вполне может оказаться тупым, а решать нам предстоит любые треугольники. Значит, эти понятия нужно расширить на все углы от 0° до 180°. Делают это не в треугольнике, а на координатной плоскости.

В верхней полуплоскости возьмём полуокружность, у которой центр лежит в точке O — начале координат, а радиус равен 1 (рис. 1). Её называют единичной. Ось абсцисс она пересекает в точках A(1; 0) и B(−1; 0), а самая высокая её точка — это C(0; 1). Теперь каждому углу α от 0° до 180° сопоставим точку M этой линии — ту, для которой ∠MOA = α, где O — начало координат. Чем больше угол, тем левее уходит точка: углу 0° отвечает сама точка A, углу 90° — точка C, углу 180° — точка B. Соответствие получается взаимно однозначным: у каждого угла своя точка, у каждой точки свой угол.

Убедимся, что новое соглашение не спорит со старым. Пусть α — острый угол, а M — отвечающая ему точка (рис. 2). Опустим из M перпендикуляр MN на ось абсцисс. В прямоугольном треугольнике OMN угол при вершине O равен α, катет ON прилежащий, катет MN противолежащий, а гипотенуза OM — это радиус. Поэтому cos α = ON / OM и sin α = MN / OM. Радиус равен единице, а длины катетов — это как раз координаты точки M: OM = 1, а дальше ON = x и MN = y. Отсюда cos α = x и sin α = y.

Определение. Косинусом угла α (0° ≤ α ≤ 180°) называют абсциссу, а синусом — ординату той точки единичной полуокружности, которая отвечает этому углу.

Для острого угла, как мы только что проверили, отсюда получается прежнее правило восьмого класса, а для прямого, тупого и развёрнутого — новое, и никакого треугольника оно уже не требует. Значения на концах промежутка читаются прямо по координатам. У точки A координаты (1; 0), поэтому cos 0° = 1, а sin 0° = 0. Точка C — это (0; 1), откуда sin 90° = 1 и cos 90° = 0. Наконец, точка B — это (−1; 0), поэтому cos 180° = −1, а sin 180° = 0.

Посмотри, как это работает вживую.