§ 10. Уравнение прямой

В § 9 уравнение окружности мы получили из её описания как ГМТ. Прямую тоже удобно описать как ГМТ: это серединный перпендикуляр отрезка, то есть множество точек, одинаково удалённых от его концов. Любая прямая служит серединным перпендикуляром какого-нибудь отрезка.

Возьмём прямую l и отметим точки A и B, симметричные относительно неё; их координаты обозначим (x₁; y₁) и (x₂; y₂). Тогда l — серединный перпендикуляр отрезка AB (рис. 1).

Вывод уравнения идёт в три шага.

Шаг 1: точка прямой даёт решение. Пусть M(x; y) лежит на l. По свойству серединного перпендикуляра MA = MB, а по формуле расстояния из § 8 √((x₁−x)² + (y₁−y)²) = √((x₂−x)² + (y₂−y)²). (*) Координаты любой точки прямой l удовлетворяют равенству (*).

Шаг 2: решение даёт точку прямой. Пусть пара (x₀; y₀) удовлетворяет (*). Тогда точка N(x₀; y₀) одинаково удалена от A и от B, и по признаку серединного перпендикуляра N лежит на l. Лишних решений нет, так что (*) — уравнение прямой l в смысле § 9.

Шаг 3: упрощаем. Обе части (*) неотрицательны, возведём их в квадрат: (x₁−x)² + (y₁−y)² = (x₂−x)² + (y₂−y)². После раскрытия скобок x² и y² сократятся. Члены с x и y соберём слева, числа — справа: 2x(x₂−x₁) + 2y(y₂−y₁) = x₂² − x₁² + y₂² − y₁². Назовём коэффициент при x буквой a, при y — буквой b, правую часть — буквой c: вышло ax + by = c. Коэффициенты a и b разом нулями не будут — для этого нужно x₂ = x₁ и y₂ = y₁, а точки A и B различны.

Проверим на числах: A(1; 2), B(5; 4). При x стоит 2 · (5 − 1) = 8, при y стоит 2 · (4 − 2) = 4, справа 25 − 1 + 16 − 4 = 36. Получаем 8x + 4y = 36, или 2x + y = 9. Середина AB — точка (3; 3), и 2 · 3 + 3 = 9: она на прямой, как и положено.

На живом чертеже A(1; 2) закреплена, а B двигают ползунки x₂ и y₂; под чертежом коэффициенты считаются по формулам шага 3.