§ 20. Гомотетия. Подобие фигур

В §§ 17–19 мы изучали движения: параллельный перенос, осевую и центральную симметрии, поворот. Все они сохраняют расстояния, поэтому при движении фигура переходит в равную ей фигуру. Но часто нужно другое преобразование — такое, которое меняет размер фигуры и при этом бережёт её форму. Так поступает фотограф, когда увеличивает снимок, и чертёжник, когда переносит план дома на лист в масштабе. В этом параграфе мы разберём такое преобразование — гомотетию, а с её помощью дадим общее определение подобных фигур, не только треугольников, и узнаем, как меняется площадь.

Образ точки при гомотетии

Возьмём точку O и число k, не равное нулю. Для любой точки X построим точку X₁ так, чтобы векторы OX₁ и OX были связаны равенством OX₁ = kOX. Тогда говорят, что X₁ — образ X при гомотетии, у которой O — центр, а k — коэффициент.

Что это равенство значит на чертеже, подсказывает умножение вектора на число из § 15. 1) Если k > 0, вектор OX₁ сонаправлен с вектором OX, и X₁ лежит на луче OX. При k = 2 точка X₁ вдвое дальше от центра, чем X, и X оказывается серединой отрезка OX₁ (рис. 1, а). 2) Если k < 0, векторы направлены противоположно, и X₁ лежит на продолжении луча OX за точку O. При k = −1/2 точка X₁ уходит по другую сторону от центра и вдвое ближе к нему, чем X (рис. 1, б). 3) В обоих случаях длина отрезка OX₁ в |k| раз больше длины OX. Модуль коэффициента говорит, во сколько раз изменилось расстояние до центра, а знак — по какую сторону от центра лежит образ.

Коэффициент ноль запрещён не случайно. При k = 0 все точки плоскости попали бы в центр O, и от любой фигуры после такого «преобразования» осталась бы одна точка.

Гомотетия фигуры

Пусть теперь дана фигура F и точка O. Каждой точке X фигуры сопоставим её образ X₁ при выбранной гомотетии (центр O, коэффициент k); центр O, если он лежит на фигуре, остаётся на месте. Все образы вместе составляют новую фигуру F₁. Это преобразование фигуры тоже называют гомотетией — с тем же центром O и тем же коэффициентом k, а фигуру F₁ называют гомотетичной фигуре F (рис. 2).

На рис. 2, а коэффициент равен 2: каждая точка «флажка» F уехала от центра по своему лучу вдвое дальше, и флажок вырос вдвое по всем направлениям. На рис. 2, б коэффициент равен −1/2: образ оказался по другую сторону от центра, уменьшился вдвое и перевернулся — у него «вверх ногами» и древко, и полотнище. Поворот на 180° здесь не отдельное действие: его даёт знак минус у коэффициента.

Гомотетию можно обратить. На рис. 3, а треугольник A₁B₁C₁ получен из треугольника ABC гомотетией с центром O, коэффициент которой равен −3. Прочитаем равенство векторов OA₁ = −3 · OA справа налево: выйдет, что вектор OA равен вектору OA₁, умноженному на −1/3. Значит, и ABC получается из A₁B₁C₁ гомотетией — центр прежний, а коэффициент равен −1/3. Общее правило такое: обратная гомотетия имеет тот же центр и коэффициент 1/k.

Два значения коэффициента дают уже знакомые преобразования. При k = −1 равенство OX₁ = −OX означает, что O — середина отрезка XX₁, а это центральная симметрия из § 19 (рис. 3, б). При k = 1 каждая точка остаётся на месте: это тождественное преобразование. При остальных значениях коэффициента, то есть когда k ≠ 1 и k ≠ −1, расстояния меняются, и движением гомотетия не является.

На живом чертеже ниже треугольник ABC и центр O закреплены, а ползунок меняет коэффициент k от −2 до 3 с шагом 0,5. Проследите за тремя вещами. При k > 1 образ больше исходного треугольника и лежит по ту же сторону от O. При 0 < k < 1 образ меньше и тоже лежит по ту же сторону. При k < 0 образ переходит за центр и поворачивается «вверх ногами». Поставьте k = 1 и k = −1 — увидите тождественное преобразование и центральную симметрию. При k = 0 образ пропадает: гомотетии с нулевым коэффициентом не бывает.

Как меняются расстояния

Главное свойство гомотетии — теорема 20.1. Её формулировка из учебника: При гомотетии фигуры F с коэффициентом k все расстояния между её точками изменяются в |k| раз. На языке отрезков: если A₁ и B₁ — образы точек A и B фигуры, то A₁B₁ = |k|AB.

Докажем её векторами, в три шага. Шаг 1. Пусть O — центр гомотетии, A и B — точки фигуры, A₁ и B₁ — их образы. По определению гомотетии OA₁ = kOA и OB₁ = kOB (здесь и в следующих двух шагах — векторы). Шаг 2. Вектор A₁B₁ выразим через векторы, отложенные от центра, по правилу вычитания из § 14: A₁B₁ = OB₁ − OA₁ = kOB − kOA. Шаг 3. Вынесем общий множитель k за скобки — это свойство умножения вектора на число из § 15: kOB − kOA = k(OB − OA) = kAB. Итак, вектор A₁B₁ = kAB, а длина вектора, умноженного на число k, умножается на |k|. Значит, длина отрезка A₁B₁ в |k| раз больше длины AB.

Из шага 3 видно и больше. Векторы A₁B₁ и AB коллинеарны, поэтому отрезок-образ параллелен отрезку-прообразу или лежит с ним на одной прямой. Этим мы воспользуемся в задаче 1.

Следствие из теоремы касается треугольников. Пусть гомотетия с коэффициентом k перевела треугольник ABC в треугольник A₁B₁C₁. Тогда эти треугольники подобны. Действительно, по теореме 20.1 каждая сторона треугольника A₁B₁C₁ в |k| раз длиннее соответствующей стороны треугольника ABC. Три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, и по третьему признаку подобия из курса 8 класса треугольники подобны с коэффициентом |k|.

Другие свойства гомотетии

Учебник называет ещё шесть свойств. Их доказательства выходят за рамки школьного курса, но знать их нужно — ими постоянно пользуются в задачах. При гомотетии: — прямая переходит в прямую; — отрезок переходит в отрезок; — угол переходит в угол той же величины; — треугольник переходит в подобный ему треугольник; — окружность переходит в окружность, а её радиус меняется в |k| раз; — площадь многоугольника меняется в k² раз.

Коротко: размер фигуры гомотетия меняет, а форму оставляет прежней. Поэтому образ и прообраз при гомотетии естественно считать подобными. В 8 классе подобными называли только треугольники — те, у которых углы соответственно равны, а стороны пропорциональны. Теперь понятие подобия можно распространить на любые фигуры: на многоугольники, окружности, кривые, буквы, силуэты.

Подобие фигур

Сначала пример. На рис. 4, а фигура F₁ получена из F гомотетией (центр O, k = 2), а F₂ — отражение фигуры F₁ в прямой l. Осевая симметрия — движение, поэтому F₁ = F₂: эти две фигуры равны.