§ 19. Центральная симметрия. Поворот

Здесь — ещё два движения: центральная симметрия и поворот. Как и осевая симметрия, они сохраняют расстояния, но задаются не прямой, а точкой.

Центральная симметрия

Говорят, что точки A и A₁ симметричны относительно точки O, если O — середина отрезка AA₁ (рис. 1). Сама точка O считается симметричной себе.

Одного равенства OA = OA₁ для этого мало: точки A, O и A₁ ещё должны лежать на одной прямой, причём O — между A и A₁.

Если у точек A и A₁ противоположны и абсциссы, и ординаты, то середина AA₁ — начало координат, и точки симметричны относительно него (рис. 2). Например, A(3; −5) и A₁(−3; 5).

Возьмём фигуру F и точку O. Каждой точке X фигуры сопоставим симметричную ей относительно O точку X₁; все точки X₁ составят фигуру F₁ (рис. 3). Такое преобразование — центральная симметрия с центром O, а фигуры F и F₁ симметричны относительно O.

Главное свойство этого преобразования — теорема 19.1: центральная симметрия является движением.

Доказательство — по шагам. 1) Поместим начало координат в центр симметрии. Тогда образ точки (x; y) — точка (−x; −y). 2) Возьмём две любые точки фигуры, A(x₁; y₁), B(x₂; y₂); их образы — A₁(−x₁; −y₁), B₁(−x₂; −y₂). 3) Расстояние считаем по формуле из § 8, для отрезка AB она даёт AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). 4) Для образов по той же формуле A₁B₁ = √((−x₂ − (−x₁))² + (−y₂ − (−y₁))²). Разности в скобках отличаются от x₂ − x₁ и y₂ − y₁ только знаком, а в квадрате знак пропадает. Значит, A₁B₁ = AB: расстояния сохраняются.

Отсюда следствие: фигуры, симметричные относительно точки, равны, то есть F = F₁.

Центр симметрии фигуры

Фигура симметрична относительно точки O, если вместе с каждой своей точкой она содержит и симметричную ей относительно O. Тогда O называют центром симметрии фигуры и говорят, что у фигуры есть центр симметрии. Примеры — на рисунке 4. • Центр симметрии отрезка — его середина. • Центр симметрии параллелограмма — точка пересечения диагоналей: она делит каждую диагональ пополам, поэтому A переходит в C, B — в D, а точка X стороны BC — в точку X₁ стороны AD. • У окружности центр симметрии — её центр: концы любого диаметра симметричны относительно него. • У прямой центров симметрии бесконечно много — годится любая её точка. Бесконечно много их и у фигуры из двух параллельных прямых: подходит любая точка прямой, равноудалённой от обеих.

А у треугольника и у луча центра симметрии нет.