§ 18. Осевая симметрия

В § 17 движением назвали преобразование, которое сохраняет расстояния между точками. Здесь — один из главных его видов.

Определение из учебника: точки A и A₁ называют симметричными относительно прямой l, если прямая l является серединным перпендикуляром отрезка AA₁.

На рис. 1 отрезок AA₁ перпендикулярен прямой l и делится ею пополам: точки лежат по разные стороны от l на равном расстоянии от неё. Точку самой прямой, например B, считают симметричной себе.

На координатной плоскости осью симметрии удобно брать ось координат (рис. 2). У A(x₀; y₀) и A₁(−x₀; y₀) ординаты одинаковы, а абсциссы противоположны — эти точки симметричны относительно оси ординат. У A(x₀; y₀) и A₂(x₀; −y₀) наоборот: они симметричны относительно оси абсцисс.

Возьмём фигуру F и прямую l и каждую точку X фигуры заменим симметричной ей точкой X₁. Получится фигура F₁ (рис. 3). Такое преобразование называют осевой симметрией, прямую l — осью симметрии, а про F и F₁ говорят, что они симметричны относительно l.

Теорема 18.1. Осевая симметрия является движением.

Доказательство по шагам. Шаг 1. Систему координат возьмём такую, в которой ось симметрии — ось ординат. Образ точки (x; y) тогда — точка (−x; y). Шаг 2. Пусть A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) — любые две точки фигуры. Их образы — A₁(−x₁; y₁), B₁(−x₂; y₂). Шаг 3. По формуле расстояния из § 8 AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Шаг 4. Для образов A₁B₁ = √((−x₂ − (−x₁))² + (y₂ − y₁)²) = √((x₁ − x₂)² + (y₂ − y₁)²). В первой скобке теперь x₁ − x₂ — число, противоположное x₂ − x₁, а квадраты противоположных чисел равны.