§ 17. Движение (перемещение) фигуры. Параллельный перенос

Глава о геометрических преобразованиях начинается с вопроса, что вообще называют преобразованием фигуры. Дальше в ней будут осевая и центральная симметрия, поворот, гомотетия и подобие, а в этом параграфе — самое простое преобразование: параллельный перенос.

Пример 1. Возьмём отрезок AB, прямую a и точку O, которая не лежит ни на прямой a, ни на прямой AB (рис. 1). Для каждой точки X отрезка проведём прямую OX и отметим точку X₁, где она встречает прямую a. Концу A достаётся точка A₁, концу B — точка B₁, а все точки X₁ вместе заполняют отрезок A₁B₁. Получилось правило: любой точке X отрезка AB сопоставлена ровно одна точка X₁ отрезка A₁B₁.

Пример 2. Дана полуокружность с диаметром AB и прямая a, параллельная AB (рис. 2). Из каждой точки X полуокружности опустим перпендикуляр на прямую a и назовём его основание X₁. Такие точки снова составляют отрезок A₁B₁, только теперь он получен из дуги.

Пример 3. Даны фигура F и вектор a. Каждую точку X фигуры сдвинем на этот вектор, то есть сопоставим ей такую точку X₁, что XX₁ = a как векторы (рис. 3). Все точки X₁ образуют фигуру F₁. Такое преобразование — это параллельный перенос на вектор a.

Что общего у трёх примеров. Каждый раз по некоторому правилу каждой точке фигуры F ставится в соответствие одна точка, и из всех этих точек складывается фигура F₁. Тогда говорят, что F₁ получена преобразованием фигуры F. При этом F₁ — образ фигуры F, а сама F — прообраз фигуры F₁; точка X₁ — образ точки X. В примере 1 отрезок A₁B₁ — образ отрезка AB, а AB — его прообраз.

Равен ли образ прообразу? В примере 3 да: F₁ такая же, как F, только сдвинута. В примере 1 отрезок A₁B₁ длиннее отрезка AB, а в примере 2 дуга превратилась в отрезок. Чтобы образ получался равным прообразу, преобразованию хватает одного свойства: для любых двух точек A и B фигуры и их образов A₁ и B₁ нужно, чтобы A₁B₁ = AB.

Определение. Преобразование фигуры F, сохраняющее расстояние между точками, называют движением (перемещением) фигуры F.

Простейшее движение — тождественное преобразование: каждой точке X фигуры сопоставляется она сама. Образ фигуры при нём — та же фигура, и расстояния, конечно, не меняются.

Свойства движения. Если преобразование — движение, то при нём • прямая переходит в прямую; • отрезок переходит в отрезок той же длины; • угол переходит в угол той же величины; • треугольник переходит в равный ему треугольник. Доказательство этих свойств в школьный курс не входит.

Эти свойства связывают движение с равенством фигур, и равенство теперь можно определить строго: F и F₁ равны, когда какое-нибудь движение переводит одну из них в другую.