§ 16. Скалярное произведение векторов

В § 14 и § 15 векторы складывали, вычитали и умножали на число — и каждый раз снова получали вектор. Здесь появится действие другого рода: два вектора дают в результате число. Оно называется скалярным произведением. Чтобы его определить, сначала нужно договориться, что такое угол между векторами.

Угол между векторами. Пусть a⃗ и b⃗ — ненулевые векторы, направленные не одинаково. Выберем любую точку O и построим от неё векторы OA⃗ = a⃗ и OB⃗ = b⃗. Угол AOB и считают углом между a⃗ и b⃗; его величину записывают так: ∠(a⃗, b⃗) (рис. 1).

От выбора точки O величина угла не зависит. Если отложить те же векторы от другой точки O₁, получится треугольник, равный треугольнику AOB по двум сторонам и углу между ними, — ведь равные векторы имеют равные длины и одинаковые направления.

Особые случаи закрывают две договорённости (рис. 2). • Если векторы сонаправлены, угол между ними считают равным 0°. • Если среди двух векторов есть нулевой, угол тоже считают равным 0°. У противоположно направленных векторов угол развёрнутый: ∠(a⃗, b⃗) = 180°. Итак, для любых двух векторов 0° ≤ ∠(a⃗, b⃗) ≤ 180°, а острым, прямым или тупым этот угол бывает так же, как обычный угол. Если угол между векторами равен 90°, их называют перпендикулярными и пишут a⃗ ⊥ b⃗.

Главное правило: векторы откладывают от одной точки. Возьмём равносторонний треугольник ABC. У векторов AB⃗ и AC⃗ общее начало A, поэтому ∠(AB⃗, AC⃗) = ∠BAC = 60°. У векторов AB⃗ и BC⃗ начала разные. Отложим от точки B вектор BD⃗, равный вектору AB⃗: точка D окажется на продолжении стороны AB за точку B. Тогда ∠(AB⃗, BC⃗) = ∠DBC, а это внешний угол треугольника при вершине B, он равен 180° − 60° = 120°. Взять вместо него угол ABC = 60° — самая частая ошибка темы.

Откуда берётся новое действие. Из курса физики известно: если постоянная сила F⃗ перенесла тело из A в B (рис. 3), то её работа равна |F⃗| · |AB⃗| · cos φ, а φ — угол между векторами F⃗ и AB⃗. Например, санки тянут за верёвку с силой 10 Н под углом 60° к дороге и провозят 5 м. Работа равна 10 · 5 · cos 60° = 10 · 5 · 1/2 = 25 Дж. Если бы верёвку тянули вдоль дороги, угол был бы 0°, и та же сила совершила бы вдвое большую работу — 50 Дж. Произведение двух длин на косинус угла между векторами встречается в геометрии и физике так часто, что его сделали отдельным действием.

Определение. Скалярное произведение двух векторов — это число, равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними.

Пишут его с точкой между векторами, и по определению a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos ∠(a⃗, b⃗). Результат — число, а не вектор; отсюда и название: скаляр — это величина без направления.

Например, если |a⃗| = 2, |b⃗| = 5 и ∠(a⃗, b⃗) = 60°, то a⃗ · b⃗ = 2 · 5 · 1/2 = 5. Если |a⃗| = 4, |b⃗| = √2 и угол равен 135°, то cos 135° = −(√2) / 2, и a⃗ · b⃗ = 4 · √2 · (−(√2) / 2) = −4. Если какой-то из двух векторов нулевой, его модуль равен нулю, и скалярное произведение тоже равно нулю.

Скалярный квадрат. Умножим вектор скалярно на самого себя. Угол между a⃗ и a⃗ равен 0°, а cos 0° = 1, поэтому a⃗ · a⃗ = |a⃗| · |a⃗| · 1 = |a⃗|². Такое произведение вектора на себя называется его скалярным квадратом, и записывают его a⃗². Итак, a⃗² = |a⃗|²: скалярный квадрат вектора — это квадрат его длины. На этом равенстве держатся все задачи на длины: длина вектора — это корень из его скалярного квадрата.

Знак скалярного произведения. У ненулевых векторов модули положительны, поэтому знак a⃗ · b⃗ совпадает со знаком косинуса угла между ними (рис. 4). • Угол острый — косинус положителен, и a⃗ · b⃗ > 0. • Угол прямой — cos 90° = 0, и a⃗ · b⃗ = 0. • Угол тупой — косинус отрицателен, и a⃗ · b⃗ < 0. Самое большое значение, |a⃗| · |b⃗|, произведение принимает у сонаправленных векторов (cos 0° = 1), самое маленькое, −|a⃗| · |b⃗|, — у противоположно направленных (cos 180° = −1).