§ 15. Умножение вектора на число

В § 14 векторы складывали и вычитали. Сложим вектор a с самим собой: выйдет вектор того же направления, но вдвое длиннее. А если трижды сложить противоположный вектор −a, получится вектор, который втрое длиннее a и смотрит в обратную сторону. На рисунке 1 первый результат отложен как вектор AB, второй — как вектор CD, и |AB| = 2|a|, причём AB ↑↑ a; |CD| = 3|a|, причём CD ↑↓ a.

Вектор AB естественно записать как 2a и сказать, что он получен умножением вектора a на число 2. Вектор CD тем же способом получается из a умножением на число −3, и пишут CD = −3a. Этот пример подсказывает общее правило.

Как читать формулы урока. В учебнике над вектором стоит стрелка, на рисунках урока она тоже есть. В тексте стрелку не рисуем: строчные буквы a, b, c, d, p, q — векторы, буквы k, m, n, t, u, v — числа, а пара заглавных букв, например AB, — вектор с началом A и концом B. Длину вектора пишем модулем: |a|. Знак ↑↑ читается «сонаправлены», знак ↑↓ — «противоположно направлены», знак ∥ — «коллинеарны».

Определение (дословно по учебнику). Произведением ненулевого вектора a и числа k, отличного от нуля, называют такой вектор b, что: 1) |b| = |k||a|; 2) если k > 0, то b ↑↑ a; если k < 0, то b ↑↓ a. Записывают это так: b = ka.

Особые случаи оговариваются отдельно: когда вектор a нулевой или k = 0, произведение ka считают нулевым вектором. Например, 0 · a и 5 · 0 — оба нулевые векторы.

Выходит, умножение на число делает сразу два дела: растягивает или сжимает вектор в |k| раз и при отрицательном k разворачивает его в обратную сторону. На рисунке 2 от одного вектора a построены −2a (вдвое длиннее и в обратную сторону), 2/3 a (сжат до двух третей) и √3 a (длиннее в √3 ≈ 1,73 раза и направлен туда же).

Два частных случая следуют прямо из определения. Умножение на единицу ничего не меняет: 1 · a = a — модуль и направление те же. Умножение на минус единицу даёт противоположный вектор из § 14: −1 · a = −a — модуль тот же, направление обратное.

Ещё одно следствие определения: из равенства b = ka вытекает, что a ∥ b. При k > 0 векторы сонаправлены, при k < 0 противоположно направлены, а нулевой вектор коллинеарен любому.

Живой чертёж показывает определение в движении. Вектор a(2; 1) закреплён (синяя стрелка), ползунок задаёт число k, а красная стрелка — это вектор ka, отложенный от начала координат O. Проведите k через нуль. Пока k > 0, красная стрелка смотрит туда же, куда синяя; при k = 0 она стягивается в точку; при k < 0 разворачивается. Её длина всё время в |k| раз больше длины синей, и обе стрелки лежат на одной серой прямой.

Верно ли обратное: если a и b коллинеарны, найдётся ли число k, для которого b = ka? Ответ даёт теорема 15.1, и в ней есть важное условие.

Теорема 15.1. Пусть a ∥ b и вектор a не нулевой. Тогда b = ka при некотором числе k.

Доказательство разбирает три случая. Шаг 1. b — нулевой вектор. Возьмём k = 0: по договорённости произведение нулевое, и b = ka. Шаг 2. b не нулевой и сонаправлен с a. Возьмём число k = |b|/|a| — делить можно, потому что a не нулевой. Обозначим c = ka. Число k положительно, поэтому c ↑↑ a, а значит, и c ↑↑ b. Длина вектора c равна k|a|, то есть |b|. У b и c одно направление и одинаковые модули, поэтому эти векторы равны: b = c = ka. Шаг 3. b не нулевой и направлен противоположно a. Этот случай учебник предлагает довести самостоятельно — сделаем это. Берём число k = −|b|/|a| и снова c = ka. Теперь k отрицательно, поэтому c ↑↓ a; вектор b тоже противоположен a, и потому c ↑↑ b. Модуль вектора c равен |k||a|, то есть снова |b|. Опять b = c = ka.

Зачем нужно условие «a не нулевой»? Нулевой вектор коллинеарен любому, но произведение ka при нулевом a нулевое при каждом k, и ненулевой вектор b через него не выразить. Кроме того, в шагах 2 и 3 мы делили на |a|.

Теорема 15.2 (координаты произведения). Если у вектора a координаты (a₁; a₂), то у вектора ka координаты (ka₁; ka₂).

Иначе говоря, умножить вектор на число — значит умножить на это число каждую его координату. Доказательство идёт по определению: проверяем модуль и направление. Шаг 1. Когда a нулевой или k = 0, обе стороны дают нулевой вектор. Дальше a и k не нулевые; обозначим через b вектор с координатами (ka₁; ka₂) и покажем, что b = ka. Шаг 2. Модуль. По формуле длины вектора из § 13 |b| = √((ka₁)² + (ka₂)²) = √(k²(a₁² + a₂²)) = |k| · √(a₁² + a₂²) = |k||a|. Шаг 3. Коллинеарность. Отложим от начала координат O векторы OA и OB, равные a и b: у точки A координаты (a₁; a₂), у точки B — (ka₁; ka₂).