§ 14. Сложение и вычитание векторов

В § 12 вектор появился как направленный отрезок, в § 13 у него появились координаты. Теперь векторы научимся складывать и вычитать. В учебнике над обозначением вектора ставят стрелку — так подписаны и наши рисунки. В тексте урока стрелку не пишем: в равенствах вида AB + BC = AC и a + b = c все буквы означают векторы, а длину вектора, как и в учебнике, обозначает модуль: |AB|, |a|.

Сумма векторов. Правило треугольника

Пусть тело сначала переместилось от A к B, а затем от B к C. Каждое перемещение — вектор: AB и BC. Итог двух шагов — один шаг из A сразу в C, то есть вектор AC. Его и считают суммой двух перемещений: AB + BC = AC.

Так же складывают любые два вектора a и b. Выберем какую угодно точку A и отложим от неё вектор AB, равный a. От его конца B отложим вектор BC, равный b. Вектор AC, ведущий из начала первого вектора в конец второго, и есть сумма a и b; пишут a + b = AC (рис. 1). Такой способ называют правилом треугольника: при неколлинеарных a и b точки A, B и C служат вершинами треугольника.

Треугольник при этом не обязателен. Коллинеарные векторы складывают тем же способом, только все три точки ложатся на одну прямую (рис. 2). Если a и b направлены в разные стороны, сумма выходит короче большего из них; если в одну сторону — их длины складываются.

Отсюда главное равенство AB + BC = AC, и оно верно, как бы ни были расположены точки A, B и C. Запомнить его помогает «сцепка»: конец первого вектора — начало второго, а сумма идёт от первой буквы к последней. Равенство не ломается, даже если точки совпадают. При C = B второй вектор нулевой, и AB + 0 = AB. При C = A выходит AB + BA = AA, то есть нулевой вектор: сходили туда и вернулись обратно.

На живом чертеже вектор a = AB закреплён, а ползунки задают координаты вектора b. Красный вектор AC — сумма по правилу треугольника, пунктир достраивает её до параллелограмма (о нём ниже). Сделайте b коллинеарным a — треугольник сплющится в отрезок, а правило продолжит работать. Под чертежом для сравнения выписаны длины |a + b| и |a| + |b|.

Сумма в координатах

Теорема 14.1 в формулировке учебника: Если координаты векторов a и b соответственно равны (a₁; a₂) и (b₁; b₂), то координаты вектора a + b равны (a₁ + b₁; a₂ + b₂).

Доказательство по шагам. Шаг 1. Отложим a и b по правилу треугольника: начало возьмём в точке A(x₁; y₁), конец первого вектора — в точке B(x₂; y₂), конец второго — в точке C(x₃; y₃); тогда a = AB и b = BC, а сумма a + b — это вектор AC. Шаг 2. По § 13 координата вектора — это разность соответствующих координат конца и начала. Поэтому x₂−x₁ = a₁ и x₃−x₂ = b₁; для ординат y₂−y₁ = a₂ и y₃−y₂ = b₂. Абсцисса же вектора AC равна x₃ − x₁. Шаг 3. Прибавим и отнимем x₂, получим x₃ − x₁ = (x₃ − x₂) + (x₂ − x₁) = b₁ + a₁. С ординатой делаем то же самое и получаем a₂ + b₂. Шаг 4. Значит, вектор AC, то есть a + b, имеет координаты (a₁ + b₁; a₂ + b₂).

Из теоремы вытекает важное следствие. Строя сумму, мы брали точку A произвольно. Если начать с другой точки A₁, получится другой на вид вектор A₁C₁. Но координаты у него те же самые, а векторы с равными координатами равны. Поэтому сумма векторов не зависит от выбора начальной точки: AC = A₁C₁.

Пример. Даны точки A(1; 1), B(4; 2) и C(5; 5) (рис. 3). Вектор a = AB имеет координаты (4 − 1; 2 − 1), то есть (3; 1), а вектор b = BC — координаты (5 − 4; 5 − 2), то есть (1; 3). По теореме a + b имеет координаты (3 + 1; 1 + 3) = (4; 4). Проверим напрямую: у вектора AC координаты (5 − 1; 5 − 1) = (4; 4) — совпало.

Свойства сложения

Векторы складываются по тем же законам, что и числа. Каковы бы ни были векторы a, b и c: • прибавление нулевого вектора ничего не меняет: a + 0 = a; • переместительное свойство — от перестановки слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a; • сочетательное свойство — слагаемые можно группировать как угодно: (a + b) + c = a + (b + c).

Учебник советует проверить их самостоятельно — сделаем это через координаты. Пусть a(a₁; a₂), b(b₁; b₂) и c(c₁; c₂). У нулевого вектора обе координаты нули, поэтому у суммы a + 0 абсцисса a₁ + 0 = a₁ и ордината a₂ + 0 = a₂: это вектор a.