§ 13. Координаты вектора

В § 8 каждой точке плоскости сопоставили пару чисел — её координаты, а в § 12 появились векторы — направленные отрезки, причём равными считают векторы одного направления и одной длины. Теперь свяжем одно с другим и опишем вектор двумя числами.

Возьмём на координатной плоскости вектор a. Равный ему вектор можно отложить от любой точки, в том числе от начала координат O. Пусть получился вектор OA (рис. 1). Координатами вектора a называют координаты точки A, то есть конца равного ему вектора, отложенного от начала координат. Если точка A имеет координаты (x; y), пишут a(x; y). Число x называют первой координатой вектора, число y — второй.

От данной точки вектор, равный данному, откладывается единственным способом. Значит, у каждого вектора ровно одна пара координат, и из определения сразу выходят два следствия. Напомним: равенство векторов записывают знаком «=», и если векторы AB и CD равны, пишут AB = CD. • Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Отложенные от точки O, они совпадают, а значит, кончаются в одной и той же точке. На рис. 2 векторы a, b и c равны, и у каждого координаты (2; 1) — такие же, как у вектора OM. • Верно и обратное: если у двух векторов равны первые координаты и равны вторые, то векторы равны. Отложим оба от начала координат — их концы попадут в одну точку, то есть это один и тот же вектор.

Нулевой вектор, отложенный от O, «кончается» в самой точке O, поэтому его координаты (0; 0).

Переносить каждый вектор в начало координат неудобно. Координаты можно найти прямо по началу и концу — это утверждает теорема 13.1. Если начало вектора a — точка A(x₁; y₁), а его конец — точка B(x₂; y₂), то первая координата вектора a равна x₂ − x₁, а вторая равна y₂ − y₁.