§ 12. Понятие вектора

Многие величины полностью задаются одним числом: длина отрезка, площадь фигуры, масса, объём, время, температура. Такие величины зовут скалярными, а коротко — скалярами.

Из физики известны и другие величины — такие, которым одного числа мало. Человек действует на пружину силой 20 Н. Сожмётся пружина или растянется? По числу этого не узнать: нужно ещё знать, куда направлена сила (рис. 1).

Величины, у которых есть не только числовое значение, но и направление, называют векторными величинами, или векторами. В физике это сила, скорость, ускорение, перемещение, вес. Путь, масса и время — скаляры. Разницу между путём и перемещением видно на примере. Катер прошёл 12 км на север, а потом 5 км на запад. Путь катера — одно число: 12 + 5 = 17 км. Перемещение катера — отрезок из точки старта в точку финиша, направленный к финишу. Его длина по теореме Пифагора равна √(12² + 5²) = 13 км, и у него есть направление — между севером и западом.

Направленный отрезок

Векторы есть и в геометрии. Возьмём отрезок AB и договоримся, какой из его концов считать первым. Пусть A — начало, B — конец. Теперь у отрезка кроме длины появилось направление: от A к B. Отрезок, у которого указано, какая точка служит началом, а какая — концом, называют направленным отрезком. Другое его имя — вектор.

Вектор, начало которого A, а конец B, обозначают двумя буквами со стрелкой над ними и читают «вектор AB». Порядок букв важен: вектор BA — тот же отрезок, но направленный от B к A. На чертеже вектор рисуют отрезком со стрелкой, которая указывает его конец. Вектор можно назвать и одной строчной латинской буквой со стрелкой: вектор a, вектор b, вектор c (рис. 2).

В тексте урока стрелку над буквами заменяет слово «вектор». Когда из фразы ясно, что речь идёт о векторах, равенство пишем коротко: AB = DC читается «вектор AB равен вектору DC».

Нулевой вектор и модуль вектора

Начало и конец вектора могут совпасть. Такой вектор называют нулевым, или нуль-вектором, и обозначают нулём со стрелкой. Если начало и конец — точка K, нулевой вектор записывают как вектор KK. На чертеже он выглядит просто точкой.

Модуль вектора AB — это длина отрезка AB, её записывают |AB|. Модуль вектора a записывают |a|. Нулевой вектор — точка, длины у него нет, и его модуль считают равным нулю. Модуль — скалярная часть вектора: одно число без направления. Поэтому у векторов AB и BA модуль общий, хотя смотрят они в разные стороны.

Пример. У прямоугольника ABCD стороны 7 см и 24 см. Модуль вектора AC равен длине диагонали: |AC| = √(7² + 24²) = √625 = 25 см. У вектора CA модуль тоже 25 см.

Коллинеарные векторы

Два ненулевых вектора коллинеарны, когда они расположены на одной прямой или на двух параллельных прямых. Нулевой вектор по договорённости коллинеарен любому вектору. Коллинеарность векторов a и b записывают a ∥ b.

Коллинеарные ненулевые векторы бывают двух видов (рис. 3). Если они смотрят в одну сторону, их называют сонаправленными и пишут a ↑↑ b. Если в противоположные стороны — противоположно направленными, запись a ↑↓ c. Векторы на пересекающихся прямых не коллинеарны.