§ 11. Угловой коэффициент прямой

В § 10 мы выяснили, что невертикальную прямую можно задать уравнением y = kx + p. Число p — ордината точки пересечения прямой с осью ординат: при x = 0 получаем y = p. Теперь разберёмся, что показывает число k и как по уравнениям узнать, параллельны ли две прямые. Свободный член, как в учебнике, будем обозначать буквой b и писать y = kx + b.

Уравнение y = kx — частный случай при b = 0. Пара (0; 0) ему удовлетворяет, поэтому такая прямая проходит через начало координат, и она не вертикальна.

Почему прямые y = kx + b и y = kx параллельны

Возьмём b ≠ 0 и докажем, что эти две прямые параллельны. Доказательство — в четыре шага.

Шаг 1. На прямой y = kx возьмём начало координат O и точку C(1; k) — её координаты уравнению удовлетворяют. На прямой y = kx + b возьмём точку B(1; k + b) и точку A(0; b); подстановкой легко проверить, что обе на ней лежат (рис. 1).

Шаг 2. Найдём середины диагоналей четырёхугольника OABC по формулам § 8. У отрезка AC середина имеет абсциссу (0 + 1) / 2 и ординату (b + k) / 2, у отрезка OB — абсциссу (0 + 1) / 2 и ординату (0 + k + b) / 2. Координаты одни и те же: у диагоналей общая середина.

Шаг 3. Раз диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, по признаку из 8 класса OABC — параллелограмм. Значит, противолежащие стороны AB и OC параллельны.

Шаг 4. Сторона AB лежит на прямой y = kx + b, сторона OC — на прямой y = kx. Эти прямые разные: точка A(0; b) лежит на второй, но не на первой, ведь b ≠ 0. Итак, они параллельны.

Отсюда общий вывод. Возьмём прямые с одинаковым числом k и разными свободными членами b₁ и b₂. Каждая из них параллельна прямой y = kx или совпадает с ней, а две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Вывод (1): прямые с равными коэффициентами при x и разными свободными членами параллельны.

На живом чертеже ползунки меняют k и b. Как ни двигай, середины диагоналей AC и OB совпадают — их координаты считаются под чертежом, — а красная и синяя прямые не пересекаются. Поставьте b = 0: точка A сольётся с O, точка B — с C, и прямые совпадут.

Угол между прямой и осью абсцисс

Прямая y = kx встречает единичную полуокружность из § 1 в точке M(x₀; y₀); A(1; 0) — конец полуокружности на положительной полуоси абсцисс (рис. 2). Угол AOM называют углом между прямой и положительным направлением оси абсцисс. Короче будем говорить «угол наклона прямой». Так наклон получает числовую меру — угол от 0° до 180°.

К определению добавляют две договорённости: • если прямая совпадает с осью абсцисс, этот угол считают равным 0°; • у прямой y = kx + b угол наклона такой же, как у параллельной ей прямой y = kx. Поэтому у прямой, параллельной оси абсцисс, угол наклона тоже 0°. Вертикальная прямая образует с осью абсцисс угол 90°.

Почему число k — это тангенс угла

Шаг 1. Пусть ∠MOA = α. В § 1 синус и косинус угла определены через точку единичной полуокружности: x₀ = cos α, y₀ = sin α. Шаг 2. Прямая y = kx не вертикальна, поэтому α ≠ 90° и x₀ ≠ 0. Тангенс — отношение синуса к косинусу, значит, tg α равен y₀ / x₀.