§ 9. Равнобедренный треугольник и его свойства

Треугольники удобно различать по тому, сколько у них одинаковых сторон. Возможностей ровно три: одинаковых сторон может не быть совсем, их может оказаться две и, наконец, все три. Каждому случаю досталось своё имя, и с этих имён начинается тема.

Определение. Если у треугольника какие-нибудь две стороны имеют одну и ту же длину, его называют равнобедренным.

Части такой фигуры получили собственные названия (рис. 1). Две одинаковые стороны зовут боковыми, третью — основанием. Точку, в которой боковые стороны сходятся, называют вершиной равнобедренного треугольника; угол при ней — это угол при вершине, а два оставшихся угла — углы при основании. Заметьте: слово «вершина» здесь означает не любую из трёх, а вполне определённую. У треугольника ABC с рисунка 1 боковые стороны AB и BC, основание AC, вершина B; угол при вершине — это угол B, а углы при основании — A и C.

Определение. Если у треугольника одинаковы все три стороны, его называют равносторонним (рис. 2).

Равносторонний треугольник — это частный случай равнобедренного: пара одинаковых сторон у него, разумеется, найдётся, а какую именно пару считать боковой, можно выбирать как удобнее. Обратное неверно: равнобедренный треугольник равносторонним быть не обязан.

Определение. Треугольник, у которого длины сторон попарно различны, называют разносторонним.

Итак, видов три: разносторонний, равнобедренный и равносторонний как особый случай второго.

Теорема 1 (свойства равнобедренного треугольника). Углы, лежащие при основании, одинаковы. А биссектриса, выходящая из вершины, служит такому треугольнику ещё и медианой, и высотой.

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC боковые стороны — AB и BC, а отрезок BL — биссектриса угла B (рис. 3). Докажем сразу три обещанных утверждения: ∠A = ∠C, AL = LC и BL ⊥ AC.

Шаг 1. Сравним треугольники ABL и CBL. У них AB = BC — это дано; сторона BL общая, потому что входит в оба; ∠ABL = ∠CBL, поскольку отрезок BL делит угол B пополам.

Шаг 2. Набрались две стороны и угол между ними — ровно тот набор, который требует первый признак («сторона — угол — сторона»). Значит, ΔABL = ΔCBL.

Шаг 3. У равных треугольников равны соответственные элементы. Смотрим, что чему отвечает: вершине A отвечает вершина C, вершине B — снова B, вершине L — снова L. Отсюда сразу три равенства: ∠A = ∠C, AL = LC и ∠ALB = ∠CLB.

Шаг 4. Первое из них и есть равенство углов при основании. Второе говорит, что точка L делит основание пополам, то есть BL оказался медианой.

Шаг 5. Осталась высота. Углы ALB и CLB смежные, поэтому вместе они дают 180°. Но мы только что выяснили, что они одинаковы, — значит, на каждый приходится половина: ∠ALB = ∠CLB = 90°.