§ 8. Первый и второй признаки равенства треугольников

У треугольника шесть основных элементов: три стороны и три угла. Если у треугольников ABC и A₁B₁C₁ совпадают все шесть, то есть AB = A₁B₁, а также BC = B₁C₁ и CA = C₁A₁, да ещё ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁, то один накладывается на другой без зазоров — они равны. Вот только в задаче шести данных почти никогда не бывает. Поэтому главный вопрос темы такой: какого наименьшего набора равенств хватит, чтобы все остальные получились сами собой? Утверждения, которые на этот вопрос отвечают, называют признаками равенства треугольников. В седьмом классе их три, и сегодня разберём первые два.

Начнём с проверки: а не хватит ли двух равенств? Пусть про наши треугольники известно только AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁ (рис. 1). Сторона BC ведёт себя как стрелка часов: закрепим её конец в вершине B и повернём — сама сторона не изменится, а вершина C уедет, и расстояние от A до C станет другим. На рисунке 1 одинаковые чёрточки показывают, какие стороны равны, и всё же фигуры получились разными: слева угол при вершине B тупой и треугольник растянут, справа он острый и треугольник узкий. Значит, двух пар равных сторон мало, нужно третье условие.

Этим третьим условием оказывается угол — и не любой, а тот, который данные стороны держит.

Теорема 1 (первый признак равенства треугольников). Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, тоже равны, значит, эти треугольники равны.

Коротко признак называют «сторона — угол — сторона». Порядок слов подсказывает расположение: угол стоит посередине, между двумя данными сторонами, а не где-нибудь ещё.

На рисунке 2 дано ровно это: AB = A₁B₁ (одна чёрточка), BC = B₁C₁ (две чёрточки) и ∠B = ∠B₁ (дужки при вершинах). Обратите внимание, что вершина B — общий конец обеих отмеченных сторон, то есть угол лежит именно между ними.

Доказательство опирается на наложение — другого способа сравнивать фигуры у нас пока нет.

Шаг 1. Положим ΔABC поверх ΔA₁B₁C₁ так, чтобы вершина B попала в вершину B₁, луч BA пошёл по лучу B₁A₁, а луч BC — по лучу B₁C₁. Так сделать можно, потому что ∠B = ∠B₁: равные углы совмещаются.

Шаг 2. По условию BA = B₁A₁, поэтому точка A попадёт точно в точку A₁: равные отрезки, отложенные от общего начала по одному лучу, заканчиваются в одном месте.

Шаг 3. Точно так же из BC = B₁C₁ следует, что точка C попадёт в точку C₁.

Шаг 4. Все три вершины совпали. Через две точки проходит единственная прямая, поэтому совпали и стороны: отрезок AC лёг на отрезок A₁C₁.

Шаг 5. Треугольники совместились целиком, а это и означает равенство: ΔABC = ΔA₁B₁C₁. Попутно даром получены три равенства, которых в условии не было: CA = C₁A₁, ∠A = ∠A₁ и ∠C = ∠C₁.

Запись равенства читают слева направо и по буквам: в ΔABC = ΔA₁B₁C₁ вершина A отвечает вершине A₁, вершина B — вершине B₁, вершина C — вершине C₁. Отсюда сразу видно, какие элементы соответственные: сторона AB равна стороне A₁B₁, а угол при вершине A равен углу при вершине A₁. Переставлять буквы «для красоты» нельзя: запись ΔABC = ΔB₁A₁C₁ означала бы другое совмещение, и добрая половина ошибок в задачах на признаки берётся именно отсюда.