§ 7. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника

Вторая глава начинается с фигуры, ради которой геометрию во многом и придумали, — с треугольника.

Возьмём три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками. Часть плоскости, ограниченная этими отрезками, вместе с ними самими и есть треугольник (рис. 1). Точки называют вершинами, отрезки — сторонами, а углы при вершинах — углами треугольника. Обозначают треугольник по вершинам: ΔABC. Порядок букв значения не имеет: ΔABC и ΔBCA — одна и та же фигура.

У каждой стороны есть противолежащий ей угол — тот, чья вершина не служит её концом. В ΔABC стороне AC противолежит угол B, а углы A и C к ней прилежат; углу A противолежит сторона BC, а прилежат к нему AB и AC. Эти два слова встретятся почти в каждой следующей теореме, поэтому разберитесь с ними сразу по рис. 1.

Сумму длин всех сторон называют периметром и обозначают буквой P: для треугольника MNK пишут P_MNK.

По углам треугольники делят на три вида (рис. 2). Все три угла острые — треугольник остроугольный (рис. 2, а). Один угол прямой — прямоугольный (рис. 2, б). Один угол тупой — тупоугольный (рис. 2, в). Двух прямых или двух тупых углов у треугольника не бывает; почему — станет ясно в § 16, когда посчитаем сумму его углов.

Равенство определяется здесь так же, как раньше для отрезков и для углов: два треугольника равны, если их можно совместить наложением (рис. 3). При наложении ΔABC на ΔA₁B₁C₁ совпадают вершина A с вершиной A₁, вершина B с вершиной B₁, вершина C с вершиной C₁. Отсюда сразу шесть равенств: ∠A = ∠A₁, а также ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁; AB = A₁B₁, затем BC = B₁C₁ и, наконец, AC = A₁C₁. Стороны и углы, которые совмещаются, называют соответственными. На чертеже равные стороны помечают одинаковым числом чёрточек, равные углы — одинаковым числом дуг, и условие читается прямо с рисунка.

Есть правило, которое избавляет от половины ошибок: напротив соответственных углов оказываются соответственные стороны, и обратное тоже верно.