§ 6. Аксиомы

В первой главе доказаны четыре теоремы, и каждый раз доказательство опиралось на то, что было известно раньше. Равенство вертикальных углов вывели из свойства смежных, а само свойство смежных — из того, как складываются величины углов. Порядок «новое из старого» удобен, но у него есть слабое место. Отмотаем цепочку назад: каждое утверждение держится на предыдущем, предыдущее — на ещё более раннем, и рано или поздно мы упрёмся в самое первое. Опереть его не на что: до него в геометрии не доказано ничего.

Выход один — несколько первых свойств принять без доказательства. Такие утверждения называют аксиомами. Греческое слово «аксиос» переводится как «достойное признания»: в аксиомы берут то, что просто, наглядно и ни у кого не вызывает возражений.

Аксиомы вы применяли с первого урока, просто назывались они иначе — основными свойствами. Соберём вместе те, на которых стоит вся первая глава.

Через две точки проходит прямая, и только одна. Через одну точку прямых можно провести сколько угодно (рис. 1, а), а двух точек уже хватает, чтобы прямая определилась однозначно (рис. 1, б). Проверить это можно линейкой, доказать — нельзя: это и есть отправная точка.

У каждой прямой есть свои точки, и есть точки, ей не принадлежащие. На рис. 2 точки A и B лежат на прямой m, а точки C и D — вне её. Утверждение кажется до смешного очевидным, но без него нельзя было бы говорить ни о точке вне прямой, ни о расстоянии от точки до прямой.

Длина отрезка складывается из длин частей. Если точка C лежит между A и B, то AB = AC + CB (рис. 3). Отсюда же получается и обратное действие: часть находят вычитанием, CB = AB − AC.