§ 10. Признаки равнобедренного треугольника

Прошлый параграф отвечал на вопрос «что будет, если треугольник равнобедренный». Теперь спросим наоборот: по каким приметам равнобедренный треугольник узнать среди прочих? Утверждение, которое из готовой фигуры вытягивает следствия, называют свойством. Утверждение, которое по приметам опознаёт фигуру, называют признаком. Признаков четыре, и каждый опирается на то, что уже доказано раньше.

Теорема 1. Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC отрезок BM оказался сразу и медианой, и высотой (рис. 1). Шаг 1. Медиана упирается в середину стороны, поэтому AM = MC. Шаг 2. Высота стоит к стороне под прямым углом, поэтому прямая BM перпендикулярна AC. Шаг 3. Прямая, которая проходит через середину отрезка под прямым углом, — это его серединный перпендикуляр, а каждая точка серединного перпендикуляра одинаково удалена от концов отрезка (это доказано в § 8). Вершина B лежит на этой прямой, значит, AB = BC. Две стороны совпали по длине — фигура равнобедренная. Доказано.

Теорема 2. Треугольник, у которого биссектриса совпала с высотой, равнобедренный.

Доказательство. Пусть отрезок BL в треугольнике ABC служит и биссектрисой, и высотой (рис. 2). Шаг 1. Сравним треугольники ABL и CBL: сторона BL входит в оба, то есть у них общая. Шаг 2. Биссектриса режет угол B пополам, поэтому ∠ABL = ∠CBL. Шаг 3. Высота даёт прямые углы у точки L: ∠ALB = ∠CLB = 90°. Шаг 4. Набрались сторона и два прилежащих к ней угла — это второй признак равенства треугольников. Значит, ΔABL = ΔCBL, а у равных треугольников равны соответственные стороны, откуда AB = BC. Доказано.

Теорема 3. Треугольник, у которого какие-нибудь два угла одинаковы, равнобедренный.

Здесь доказательство идёт «от противного»: сначала допускают то, чего быть не должно, а потом показывают, что допущение приводит к нелепости. Пусть в треугольнике ABC ∠A = ∠C. Построим для стороны AC серединный перпендикуляр, назовём его прямой a, и предположим, что вершина B на нём не лежит. Тогда прямая a обязана пересечь одну из двух других сторон — либо AB, либо BC.