§ 4. Смежные и вертикальные углы

Две прямые, пересекаясь, разрезают плоскость на четыре части, и в каждой части сидит свой угол. Эти четыре угла не живут порознь: стоит узнать величину одного — и остальные три находятся без всякого транспортира. Чтобы понять, почему так, в геометрии придумали два названия для пар углов: смежные и вертикальные.

Определение. Два угла называют смежными, если одна их сторона общая, а две другие стороны — дополнительные лучи.

В этом определении два требования, и оба обязательны. Первое: у углов есть общая сторона. Второе: оставшиеся две стороны выходят из одной точки и лежат на одной прямой, то есть дополняют друг друга до прямой (§ 3). На рис. 1 прямая MN и луч OE дают как раз такую пару: у углов MOE и EON общая сторона OE, а лучи OM и ON дополнительные.

Теорема. Сумма смежных углов равна 180°.

Разберём доказательство по шагам; чертёж — рис. 2, на нём смежны углы AOC и COB.

Шаг 1. По определению лучи OA и OB дополнительные, поэтому вместе они составляют прямую AB, а угол AOB развёрнутый.

Шаг 2. Величина развёрнутого угла нам известна из § 3: ∠AOB = 180°.

Шаг 3. Луч OC проходит между сторонами угла AOB, значит, по основному свойству величины угла ∠AOC + ∠COB = ∠AOB.

Шаг 4. Справа стоит 180°, отсюда ∠AOC + ∠COB = 180°. Что и требовалось доказать.

Посмотри, где именно сработало каждое условие определения: без общей стороны OC не о чем было бы говорить в шаге 3, а без дополнительных лучей не получился бы развёрнутый угол в шаге 1. Убери любое из двух — и доказательство рассыплется.

Из теоремы сразу вытекают три вывода, которые дальше экономят время (рис. 3). Если один из смежных углов острый, то второй тупой: из 180° вычли меньше 90°, значит, осталось больше 90°. Если один прямой, то и второй прямой: 180° − 90° = 90°. А пары из двух тупых углов не бывает вовсе — их сумма оказалась бы больше 180°.

Пример 1. Найдём угол, смежный с углом в 38°.