§ 3. Луч. Угол. Измерение углов

Прямая бесконечна в обе стороны, отрезок ограничен и слева, и справа. Между ними есть третья фигура: у неё есть начало, но нет конца. Из двух таких фигур складывается угол, а углы в геометрии измеряют так же часто, как в жизни измеряют длину.

Отметим на прямой AB произвольную точку O (рис. 1). Она разбивает прямую на две части. Присоединим к любой из этих частей саму точку O — получится фигура, которую в геометрии зовут лучом; второе её название — полупрямая. Точка O в такой фигуре играет особую роль: это начало луча. На рисунке оба луча закрашены разными цветами, и видно, что общая у них ровно одна точка — их начало.

Определение. Луч — это фигура, которую составляют точка прямой и все точки этой прямой, лежащие от неё по одну сторону; сама эта точка называется началом луча.

Луч записывают двумя большими буквами, и порядок букв здесь важен — не так, как у отрезка. Первой всегда ставят начало луча, второй — любую другую его точку. У луча на рис. 2 начало в точке O, а на самом луче отмечены точки M и N, поэтому его можно назвать и OM, и ON. А записи MO и NO обозначают уже другие лучи: у них начало в точках M и N.

Вернёмся к рис. 1: два луча с началом O вместе дают всю прямую AB, и ни одна точка прямой при этом не потеряна. Такая пара лучей заслуживает отдельного имени.

Определение. Дополнительными называют два луча, у которых общее начало и которые лежат на одной прямой.

На рис. 3 точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B расположена между A и C. Лучи BA и BC дополнительные: начало у обоих в точке B, а вместе они составляют прямую AC. Кажется, что достаточно просто сложить прямую из двух лучей, но это не так. Лучи CA и AC тоже дают в объединении прямую, а дополнительными не являются: начало первого — точка C, начало второго — точка A. Общее начало в определении не украшение, а главное условие.

Возьмём теперь два луча с общим началом, которые не лежат на одной прямой (рис. 4). Они делят плоскость на две части, и любую из них вместе с самими лучами называют углом. Лучи при этом называют сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла.

Две части, на которые лучи разрезали плоскость, устроены по-разному, и различает их вот что. Отметим на сторонах точки M и N и соединим их отрезком. Одной части отрезок MN принадлежит целиком, а другой достаются только его концы — сам отрезок проходит снаружи. Дальше словом «угол» мы всегда называем ту из частей, которая содержит любой такой отрезок целиком; если понадобится вторая часть, об этом будет сказано особо.

Записывают угол значком ∠ и тремя буквами, причём в середине обязательно стоит вершина: ∠MON или ∠NOM, читают «угол MON». Когда у вершины всего один угол, хватает одной буквы: ∠O. Но если из точки выходит несколько лучей (рис. 5), запись ∠O становится непонятной: неясно, о каком из углов идёт речь. Тогда углы помечают цифрами прямо на чертеже и пишут ∠1, ∠2, ∠3.

Отдельного имени заслуживает и случай, когда стороны угла оказались дополнительными лучами.

Определение. Развёрнутым называют угол, стороны которого — дополнительные лучи (рис. 6).

Всякая прямая делит плоскость на две части; каждую из них называют полуплоскостью, а саму прямую — границей.