§ 2. Отрезок и его длина

Прямую целиком не начертить: она бесконечна. Зато любые две её точки отсекают от неё кусок с началом и концом — фигуру, которую уже можно измерить. С неё и начинается измерение в геометрии.

На рис. 1 отмечены две точки прямой a — точки A и B. Они делят прямую на три части: средний кусок и два бесконечных «хвоста». Средний кусок вместе с самими точками A и B и есть отрезок; точки A и B служат его концами.

Определение. Отрезок — это часть прямой, состоящая из двух её точек и всех точек, которые лежат между ними; эти две точки называют концами отрезка.

Концы задают отрезок полностью: как ни соединяй точки M и N, получится одна и та же фигура (рис. 2). Обозначают её двумя буквами в любом порядке — MN или NM — и читают «отрезок MN». Порядок букв, как и у прямой, ничего не меняет.

Точка X на рис. 3 лежит на отрезке AB и не совпадает ни с одним из концов. Такую точку называют внутренней точкой отрезка AB; про неё же говорят, что она лежит между концами A и B. Значит, отрезок AB — это два его конца и все его внутренние точки.

Фигуры в геометрии сравнивают наложением: одну мысленно переносят на другую и смотрят, совпадут ли они.

Определение. Два отрезка называют равными, если их можно совместить наложением.

Отрезки AB и CD на рис. 4 при наложении совпадают, поэтому AB = CD. Равные отрезки помечают на чертеже одинаковыми штрихами — этот значок будет встречаться дальше в каждой теме. Наложение не требует ни линейки, ни чисел: две полоски бумаги можно приложить друг к другу и сразу увидеть, равны они или нет.

Наложение отвечает только на вопрос «равны или нет». Чтобы сказать, во сколько раз один отрезок длиннее другого, нужен эталон. Любой отрезок разрешено объявить единичным, а потом считать, сколько раз он укладывается в измеряемом.

Пусть на рис. 5 единичным выбран отрезок MN, то есть MN = 1 ед. В отрезке AB такой отрезок укладывается трижды, поэтому AB = 3 ед.; коротко пишут AB = 3 и читают «отрезок AB равен трём». Отрезок CD короче эталона: он составляет две трети от него, и записывают CD = 2/3.

В быту за единичный берут отрезок с именем: 1 мм или 1 см, для длин побольше — 1 дм и 1 м, а для расстояний между городами — 1 км. Сама длина при этом не меняется — меняется число, которым её записывают. Отрезок AB на рис. 6 приложен к линейке: в миллиметрах AB = 17, в сантиметрах AB = 1,7, в дециметрах AB = 0,17.