§ 22. Задачи на построение

Линейка с делениями, транспортир, угольник, лекала — этими инструментами вы уже много раз пользовались на уроках черчения и геометрии. Но оказывается, большую часть чертежей можно выполнить совсем скромным набором: циркулем и линейкой, на которой нет ни одного деления. Провести биссектрису угла можно без транспортира, а найти середину отрезка — ничего не измеряя.

Инженер, архитектор или дизайнер, конечно, работает любыми приборами и компьютерными программами: так быстрее и точнее. Геометрия же нарочно ограничивает себя, чтобы каждое построение можно было не только выполнить, но и доказать.

Правила построения. В геометрии договорились о трёх правилах. 1) Строить разрешено только циркулем и линейкой без делений. 2) Линейкой проводят прямую AB через две данные точки A и B, а также любую прямую через одну данную точку. 3) Циркулем проводят окружность, центр которой — данная точка, а радиус равен данному отрезку. Мерить длины линейкой и откладывать градусы транспортиром нельзя. Если в задаче сказано «постройте», построение ведётся только по этим правилам.

Запомни: решить задачу на построение — это значит составить план (алгоритм) построения фигуры; реализовать план, выполнив построение; доказать, что полученная фигура является искомой.

Разберём основные построения — из них, как из кирпичиков, складываются все остальные.

Задача 1. От данного луча отложить угол, равный данному углу. Даны угол A и луч OK (рис. 1). Шаг 1. Проводим окружность с центром A и произвольным радиусом r. На сторонах угла она отмечает точки B и C, так что AB = AC = r. Шаг 2. Тем же радиусом r проводим окружность с центром O. Она пересекает луч OK в точке M. Шаг 3. Раствором циркуля, равным отрезку BC, проводим окружность с центром M. Две последние окружности пересекаются в точках E и F. Шаг 4. Проводим лучи OE и OF. Каждый из углов EOM и FOM — искомый.

Докажем это для угла EOM. У треугольников ABC и OEM стороны попарно равны: AB = OE = r = AC = OM, а третьи стороны равны по построению, EM = BC. Значит, треугольники равны по третьему признаку, и ∠EOM = ∠BAC. Точно так же ∠BAC = ∠FOM. Углы EOM и FOM лежат по разные стороны от луча OK, но равны между собой. Такие решения не различают: считают, что у задачи одно решение.

Задача 2. Построить серединный перпендикуляр данного отрезка AB. Шаг 1. Проводим две окружности радиуса AB — одну с центром A, другую с центром B.