§ 21. Описанная и вписанная окружности треугольника

Около каждого треугольника можно провести окружность через все его вершины, и в каждый треугольник можно поместить окружность, касающуюся всех его сторон. В этом параграфе разберёмся, почему это всегда удаётся, где лежат центры таких окружностей и как с их помощью решают задачи. Опираться будем на две теоремы § 19 о геометрических местах точек. Серединный перпендикуляр отрезка состоит из точек, одинаково удалённых от концов отрезка (теорема 19.1). Биссектриса угла состоит из точек угла, одинаково удалённых от его сторон (теорема 19.2). Из § 20 понадобятся свойства касательной: она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, а прямая, отстоящая от центра окружности на радиус, касается этой окружности.

Описанная окружность. Начнём с определения. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника. Про сам треугольник тогда говорят, что он вписан в окружность (рис. 1).

Все три вершины лежат на окружности, поэтому каждая удалена от центра на радиус. Если точка O — центр, то OA = OB = OC: центр описанной окружности одинаково удалён от всех вершин треугольника. Верно и обратное. Если нашлась точка, от которой три вершины удалены одинаково, то окружность с центром в этой точке и радиусом OA пройдёт и через B, и через C.

Главная теорема параграфа для этого случая звучит так. Около любого треугольника можно описать окружность. В учебнике это теорема 21.1.

Значит, для доказательства достаточно предъявить точку, равноудалённую от вершин A, B и C. Рассуждаем по шагам (рис. 2). Шаг 1. Проведём прямую k — серединный перпендикуляр стороны AB — и прямую l — серединный перпендикуляр стороны AC. Эти прямые пересекаются: будь они параллельны, перпендикулярные им стороны AB и AC тоже были бы параллельны, а у них общая вершина A. Точку пересечения обозначим O. Шаг 2. Точка O лежит на прямой k. По теореме 19.1 любая точка серединного перпендикуляра одинаково удалена от концов отрезка, отсюда OA = OB. Шаг 3. Точка O лежит и на прямой l, поэтому по той же теореме OA = OC. Шаг 4. Два равенства дают OA = OB = OC. Окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины — это описанная окружность.

Почему такая окружность только одна? Центр любой описанной окружности обязан быть равноудалённым от A и B, то есть лежать на прямой k, и равноудалённым от A и C, то есть лежать на прямой l. Две пересекающиеся прямые имеют единственную общую точку, так что центр один, а вместе с ним один и радиус.

Из доказательства сразу получаются два следствия. Первое: точка O одинаково удалена и от B, и от C, значит, по теореме 19.1 она лежит и на серединном перпендикуляре третьей стороны BC. Все три серединных перпендикуляра сторон проходят через одну точку. Второе: центр описанной окружности треугольника — это точка, где пересекаются серединные перпендикуляры к сторонам. Чтобы найти центр на чертеже, хватит двух перпендикуляров, третий пригодится для проверки.

Где окажется этот центр, зависит от формы треугольника.