§ 20. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности

В прошлом параграфе окружность появилась как геометрическое место точек, одинаково удалённых от центра, а вместе с ней — радиус, хорда и диаметр. Теперь выясним, как диаметр связан с хордой и как прямая может располагаться относительно окружности. Главное новое понятие параграфа — касательная: прямая, которая дотрагивается до окружности ровно в одной точке.

Диаметр, перпендикулярный хорде

Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам — это теорема 20.1.

На рис. 1 окружность с центром O, её диаметр CD перпендикулярен хорде AB и пересекает её в точке M. Докажем, что AM = MB.

Шаг 1. Если хорда AB сама является диаметром, она проходит через центр, и центр делит её на два радиуса. Доказывать нечего. Шаг 2. Пусть AB не диаметр. Соединим центр с концами хорды. Треугольник AOB равнобедренный (OA = OB) — его боковые стороны являются радиусами. Шаг 3. Отрезок OM лежит на диаметре CD, поэтому он перпендикулярен основанию AB, то есть служит высотой треугольника AOB. Шаг 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, одновременно медиана и биссектриса. Значит, M — середина хорды, и AM = MB.

Из шага 4 получаем ещё одно полезное равенство. Отрезок OM — биссектриса угла AOB, а луч OD проходит через точку M, поэтому ∠AOD = ∠BOD. Диаметр делит пополам не только хорду, но и угол между радиусами, проведёнными в её концы.

Верно и обратное утверждение, но с оговоркой. Это теорема 20.2, своими словами: если диаметр делит пополам хорду, которая сама не диаметр, то он этой хорде перпендикулярен. Доказать её можно так. Треугольники AOM и BOM равны по третьему признаку: радиусы OA и OB равны, половины хорды AM и MB равны, сторона OM общая. Значит, равны углы AMO и BMO. Но они смежные, их сумма 180°, поэтому каждый из них прямой.

Зачем оговорка про диаметр? Два диаметра всегда делят друг друга пополам — у них общая середина, центр O, — но перпендикулярными они бывают далеко не всегда. Если хорда сама диаметр, из того, что её делят пополам, перпендикулярность не следует.

Прямая и окружность

Пусть дана окружность с центром O и радиусом r и какая-нибудь прямая. Опустим из центра перпендикуляр на прямую; его длину, то есть расстояние от центра до прямой, обозначим буквой d. Возможны три случая (рис. 2).

Если d больше r, прямая проходит вне круга: все её точки дальше от центра, чем радиус, и общих точек с окружностью нет. Если d меньше r, основание перпендикуляра лежит внутри круга, и прямая пересекает окружность в двух точках. Отрезок между ними — хорда, и перпендикуляр из центра делит её пополам по теореме 20.1. Если d равно r, у прямой и окружности ровно одна общая точка.

Определение. Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности.