§ 19. Геометрическое место точек. Окружность и круг

Любая россыпь точек на листе — тоже геометрическая фигура, ведь фигура — это множество точек. Но изучать беспорядочные россыпи бессмысленно, поэтому в геометрии выделяют фигуры, у которых каждая точка обладает одним и тем же характерным свойством.

Определение. Геометрическое место точек (сокращённо ГМТ) — это множество, в которое входят все точки с заданным свойством, и только они.

Представьте: задали свойство и закрасили красным каждую точку листа, у которой оно есть. Красная фигура, которая получится, и есть ГМТ.

Два примера (рис. 1). а) Точка должна лежать сразу на двух лучах, AB и BA. Общая часть этих лучей — отрезок AB, он и есть ГМТ. б) Прямые a и b перпендикулярны, а точка должна лежать на b и быть удалена от a на 1 см. Таких точек ровно две, A и B, по разные стороны от a, и ГМТ состоит из двух точек.

Как доказывают, что фигура — ГМТ. Нужны два взаимно обратных утверждения: 1) у каждой точки фигуры есть заданное свойство; 2) каждая точка с этим свойством принадлежит фигуре. Одного первого мало. Точки отрезка AB лежат на прямой AB, но множество всех точек прямой AB — вся прямая, а не отрезок.

Серединный перпендикуляр. Теорема 19.1 говорит, что ГМТ, равноудалённых от концов отрезка, — это серединный перпендикуляр этого отрезка. Обе части доказательства у нас уже есть (рис. 2): 1) по теореме 8.2 любая точка X серединного перпендикуляра m отрезка AB находится на одинаковом расстоянии от A и от B, то есть XA = XB; 2) по теореме 11.2, наоборот, точка, для которой XA = XB, лежит на серединном перпендикуляре.

Биссектриса угла.

Теорема 19.2. Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон.

Расстояние от точки до стороны — длина перпендикуляра к ней. У вершины угла оба расстояния нулевые, поэтому дальше X — любая другая точка угла ABC, а XM и XN — перпендикуляры к сторонам BA и BC (рис.