§ 18. Свойства прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник мы уже умеем узнавать: один его угол прямой, две стороны при этом угле называют катетами, а третью сторону, противолежащую прямому углу, — гипотенузой. Для таких треугольников в § 17 появились собственные признаки равенства. Теперь выясним, какими особыми свойствами прямоугольный треугольник обладает. Их три: гипотенуза длиннее каждого катета; катет, лежащий против угла 30°, вдвое короче гипотенузы; и обратное — если катет вдвое короче гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.

Гипотенуза — самая длинная сторона. Главная теорема параграфа звучит так: «В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета» (теорема 18.1).

Доказательство по шагам. Пусть в треугольнике ABC угол C прямой (рис. 1). Шаг 1. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠A + ∠B = 180° − 90° = 90°. Значит, каждый из углов A и B меньше 90°, то есть оба они острые. Шаг 2. Гипотенуза AB лежит против прямого угла C, катет BC — против острого угла A, катет AC — против острого угла B. Шаг 3. Прямой угол больше любого острого, а в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (теорема 16.4). Поэтому AB > BC и AB > AC.

Проверим на числах. У прямоугольного треугольника со сторонами 9 см, 12 см и 15 см гипотенуза — сторона 15 см, наибольшая из трёх. Одновременно гипотенуза меньше суммы катетов: 15 < 9 + 12, как требует неравенство треугольника. Одно другому не мешает: гипотенуза длиннее каждого катета по отдельности, но короче двух катетов, взятых вместе. Отсюда полезная самопроверка: если в задаче катет вышел длиннее гипотенузы или равным ей, в решении ошибка.

Перпендикуляр и наклонная. Пусть точка A не лежит на прямой l. Опустим из неё перпендикуляр AB на эту прямую; точка B — основание перпендикуляра. Соединим A с любой другой точкой X прямой l. Отрезок AX называют наклонной, проведённой из точки A к прямой l, а точку X — основанием наклонной (рис. 2).

Следствие теоремы 18.1: перпендикуляр, опущенный из точки на прямую, короче любой наклонной, проведённой из той же точки к той же прямой.

Почему это так. Угол ABX прямой, ведь отрезок AB перпендикулярен прямой l. Значит, треугольник ABX прямоугольный, отрезок AX в нём — гипотенуза, а отрезок AB — катет. По теореме 18.1 катет короче гипотенузы, то есть AB < AX. Точку X мы выбирали произвольно, поэтому вывод верен для каждой наклонной — и для AX, и для AY на рисунке.

Теперь понятно, почему в § 5 расстоянием от точки до прямой назвали именно длину перпендикуляра: это самый короткий из всех отрезков, соединяющих точку с прямой. Если нужно дойти от дерева до прямой дороги кратчайшим путём, идти надо по перпендикуляру к дороге.

На живом чертеже точку X можно вести по прямой l. Наклонная AX то удлиняется, то укорачивается, но короче перпендикуляра AB не становится; равными они бывают, только когда X совпадает с B, — тогда наклонной уже нет.