§ 17. Прямоугольный треугольник

Треугольник, у которого один из углов прямой, называют прямоугольным. На рис. 1 изображён треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Сторону AB, которая лежит против прямого угла, называют гипотенузой. Две другие стороны, AC и BC, образуют прямой угол; их называют катетами. Прямой угол в треугольнике бывает только один: сумма углов треугольника равна 180° (теорема 16.1), и второй прямой угол не оставил бы места третьему. Значит, два других угла прямоугольного треугольника острые.

Катет и острый угол. Катет AC лежит на стороне угла A — говорят, что он прилежит к этому углу. Катет BC расположен напротив угла A — он противолежит этому углу. Для угла B всё наоборот: BC — прилежащий катет, AC — противолежащий. Гипотенуза служит стороной обоих острых углов.

Зачем нужны отдельные признаки. Чтобы доказать равенство двух треугольников, мы ищем у них три пары равных элементов и ссылаемся на один из трёх признаков. Но у двух прямоугольных треугольников одна пара равных элементов есть заранее — прямые углы. Остаётся найти ещё две пары, и получаются короткие признаки, придуманные специально для прямоугольных треугольников. Всего их пять.

Признак по гипотенузе и катету. Этот признак не вытекает сразу из трёх признаков равенства треугольников: равные стороны здесь не прилежат к прямому углу с двух сторон. Поэтому его записывают отдельной теоремой и доказывают:

«Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны» (теорема 17.1).

Доказательство по шагам. Дано: треугольники ABC и A₁B₁C₁, углы C и C₁ прямые, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ (рис. 2). Докажем, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Шаг 1. Приложим треугольник ABC к треугольнику A₁B₁C₁ равными катетами: вершина A попадёт в A₁, вершина C — в C₁, а вершины B и B₁ окажутся по разные стороны от прямой A₁C₁ (рис. 3). Шаг 2. Углы A₁C₁B и A₁C₁B₁ прямые, в сумме это 180°, так что угол BC₁B₁ развёрнутый: отрезки BC₁ и C₁B₁ продолжают друг друга и складываются в один отрезок BB₁. Получился треугольник BA₁B₁. Шаг 3. Стороны A₁B и A₁B₁ этого треугольника равны — это гипотенузы исходных треугольников. Треугольник BA₁B₁ равнобедренный, а отрезок A₁C₁ в нём — высота, проведённая к основанию BB₁. Шаг 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой (свойство из параграфа 9). Поэтому точка C₁ — середина основания, и отрезки C₁B и C₁B₁ равны. Шаг 5. У треугольников A₁BC₁ и A₁B₁C₁ три пары равных сторон: стороны A₁B и A₁B₁, затем стороны C₁B и C₁B₁, а сторона A₁C₁ общая.