§ 16. Сумма углов треугольника

Треугольники бывают самыми разными: почти плоскими и почти равносторонними, с тупым углом и со всеми острыми. И всё же у каждого из них есть одна общая черта — сумма его углов всегда одна и та же. В этом параграфе мы её найдём и докажем, познакомимся с внешним углом треугольника, выясним, из каких отрезков треугольник сложить можно, а из каких нельзя, и узнаем, как связаны между собой стороны и углы.

Сумма углов треугольника

Теорема 16.1. Сумма углов треугольника равна 180°.

Возьмём любой треугольник ABC и докажем, что ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Шаг 1. Проведём через вершину B прямую a, параллельную стороне AC (рис. 1). Такая прямая есть, и она единственная — это мы знаем из § 13. Шаг 2. У вершины B прямая a и стороны BA и BC образуют три угла — отметим их цифрами 1, 2 и 3. Средний, угол 2, — это угол ABC нашего треугольника. Шаг 3. Прямые a и AC параллельны, прямая AB их пересекает. Углы A и 1 при этой секущей — накрест лежащие, а такие углы при параллельных прямых равны (§ 15). Значит, ∠1 = ∠A. Шаг 4. С секущей BC всё так же: углы C и 3 накрест лежащие, поэтому ∠3 = ∠C. Шаг 5. Углы 1, 2 и 3 вместе заполняют развёрнутый угол с вершиной B, их сумма 180°. Заменим углы 1 и 3 равными им углами треугольника и получим ∠A + ∠ABC + ∠C = 180°. Теорема доказана.

Вся идея доказательства в том, чтобы «перенести» углы A и C к вершине B и уложить все три угла треугольника рядом. Подвигайте ползунки: треугольник меняет форму, углы A и C растут и уменьшаются, а три угла у вершины B по-прежнему складываются в развёрнутый.

Что следует из теоремы

Следствие. В любом треугольнике хотя бы два угла острые.

Докажем это от противного. Допустим, острых углов меньше двух. Тогда хотя бы два угла не острые, то есть каждый из них не меньше 90°. Эти два угла уже дают вместе не меньше 180°, а ведь есть ещё третий угол, и он больше нуля. Сумма всех трёх углов вышла бы больше 180°, а по теореме 16.1 она ровно 180°. Противоречие. Значит, тупым или прямым может быть только один угол треугольника — второго такого у него не найдётся.

Отсюда видно, что у равнобедренного треугольника углы при основании обязательно острые: они равны между собой, и если бы оба были не острыми, мы получили бы треугольник с двумя не острыми углами.

Из теоремы вытекает и многое другое. У равностороннего треугольника все углы равны, а вместе дают 180°, поэтому каждый из них равен 60°. Если у двух треугольников равны по два угла, то совпадают и третьи углы: каждый из них — это 180° без одной и той же суммы. А в любом треугольнике есть угол не меньше 60° и угол не больше 60°: если бы все три угла были меньше 60°, их сумма не дотянула бы до 180°, а если бы все были больше 60° — перевалила бы.

Пример 1. Дано: в треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а угол B равен 46° (рис. 2). Найти углы A и C. Решение. Раз AB = BC, треугольник равнобедренный с основанием AC, и углы при основании равны: ∠A = ∠C. Вместе они составляют 180° − 46° = 134°, значит, каждый из них равен 134° : 2 = 67°. Ответ: ∠A = ∠C = 67°. Проверка: 67° + 67° + 46° = 180°.

Пример 2. Дано: в треугольнике ABC биссектрисы AK и CM пересекаются в точке O, ∠B = 64° (рис. 3). Найти угол AOC. Решение. Шаг 1. Сумма двух других углов треугольника ABC равна 180° − 64° = 116°. Шаг 2. Биссектрисы делят углы BAC и BCA пополам, поэтому углы OAC и OCA вместе вдвое меньше, то есть 116° : 2 = 58°. Шаг 3. Применим теорему о сумме углов ещё раз, теперь к треугольнику AOC, и найдём ∠AOC = 180° − 58° = 122°. Ответ: 122°. Сами углы A и C знать не понадобилось — хватило их суммы. Этот приём пригодится во многих задачах.