§ 15. Свойства параллельных прямых

В § 14 по равным углам мы узнавали, что прямые параллельны. Теперь наоборот: пусть заранее известно, что прямые a и b параллельны, а прямая c их пересекает. Что тогда можно сказать об углах, которые получаются при пересечении? Ответ дают три теоремы этого параграфа — свойства параллельных прямых, и каждая обратна одному из признаков § 14.

Накрест лежащие углы. Первую теорему приведём дословно, как в учебнике.

Теорема 15.1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны.

Она обратна теореме 14.1. Доказывают её от противного — так же, как теорему 13.2. Шаг 1. На рис. 1 прямые a и b параллельны, c — секущая, K — точка пересечения прямых c и a. Углы 1 и 2 накрест лежащие. Предположим, что они не равны. Шаг 2. Проведём через точку K другую прямую a₁, выбрав её наклон так, чтобы угол 3 между ней и секущей оказался равен углу 2. Для прямых a₁ и b с секущей c углы 3 и 2 накрест лежащие, и они равны. Шаг 3. По признаку из теоремы 14.1 прямая a₁ параллельна прямой b. Шаг 4. Получается, что через точку K проходят две разные прямые a и a₁, и обе параллельны b. Этого не допускает аксиома параллельности: через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной. Противоречие показывает, что предположение неверно, и ∠1 = ∠2.

Соответственные углы. Вторая теорема обратна признаку 14.3: у параллельных прямых, которые пересекает секущая, соответственные углы равны. Доказательство занимает два шага (рис. 2, а). Шаг 1. Углы 3 и 2 накрест лежащие, а прямые a и b параллельны, поэтому по теореме 15.1 эти углы равны. Шаг 2. Углы 3 и 1 вертикальные, значит, тоже равны. Отсюда ∠1 = ∠2.

Односторонние углы. Третья теорема обратна признаку 14.2: когда параллельные прямые пересекает секущая, два односторонних угла вместе составляют 180° (рис. 2, б). Шаг 1. Углы 3 и 2 накрест лежащие, по теореме 15.1 они равны. Шаг 2. Углы 1 и 3 смежные, поэтому ∠1 + ∠3 = 180°. Шаг 3. Заменим в этой сумме угол 3 равным ему углом 2 и получим ∠1 + ∠2 = 180°.

Коротко: при параллельных прямых и секущей накрест лежащие углы равны, соответственные равны, а односторонние в сумме дают 180°. Из восьми углов, которые образует секущая, четыре равны одному острому углу, а четыре — дополняющему его до 180° тупому (или все восемь прямые). Поэтому по одному известному углу находятся все остальные.

На живом чертеже ползунок поворачивает секущую c и задаёт угол 2 при прямой b. Красные углы при прямой a — накрест лежащий и соответственный — всё время равны углу 2, а синий, односторонний с ним, дополняет его до 180°.

Свойства работают, только если параллельность прямых известна заранее. У пересекающихся прямых накрест лежащие углы не равны: иначе по признаку 14.1 прямые оказались бы параллельными.