§ 14. Признаки параллельности двух прямых

В § 13 мы доказали первый признак параллельности: две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Но чаще третья прямая пересекает две данные под углом, отличным от прямого. Продолжить прямые до бесконечности и убедиться, что они нигде не встретятся, нельзя. Зато можно посмотреть на углы, которые образует с ними третья прямая. Об этом весь параграф.

Секущая и восемь углов

Пусть прямая c пересекает прямые a и b в двух разных точках. Такая прямая c — секущая для прямых a и b. В каждой точке пересечения образуются четыре угла, а всего их восемь. Пронумеруем углы, как на рис. 1: при прямой a — углы 1, 2, 3 и 4, при прямой b — углы 5, 6, 7 и 8, оба раза в одном порядке: сверху справа, сверху слева, снизу слева, снизу справа.

Четыре угла — 3, 4, 5 и 6 — лежат в полосе между прямыми a и b, остальные четыре — снаружи. Из этих восьми углов составляют пары трёх видов.

Накрест лежащие углы — это углы 3 и 5, а также 4 и 6. Оба угла такой пары лежат между прямыми a и b, но по разные стороны от секущей: один при прямой a, другой при прямой b, как бы крест-накрест.

Односторонние углы — это углы 3 и 6, а также 4 и 5. Они тоже лежат между прямыми, но по одну сторону от секущей: 3 и 6 — слева, 4 и 5 — справа.

Соответственные углы — это пары 1 и 5, 2 и 6, 4 и 8, 3 и 7. Углы такой пары занимают одинаковое место каждый при своей точке пересечения: угол 2 лежит сверху слева от точки на прямой a, а угол 6 — сверху слева от точки на прямой b. Один угол соответственной пары лежит между прямыми, другой — снаружи, и оба по одну сторону от секущей.

На рис. 2 цветом выделено по одной паре каждого вида.

Обратите внимание: на рис. 1 прямые a и b явно не параллельны, и всё же углы 3 и 5 на нём накрест лежащие, а углы 2 и 6 соответственные. Названия пар зависят только от того, как углы расположены относительно двух прямых и секущей. А вот параллельны ли сами прямые, мы и будем узнавать по величинам этих углов.

Признак первый: накрест лежащие углы

Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны. Это теорема 14.1.

Доказательство. Пусть секущая c пересекает прямую a в точке A, а прямую b — в точке B, и накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 3). Докажем, что a ∥ b. Шаг 1. Если углы 1 и 2 прямые, то секущая c перпендикулярна и прямой a, и прямой b, и теорема 13.1 сразу даёт их параллельность. Дальше считаем, что углы не прямые. Шаг 2. Возьмём середину M отрезка AB, так что AM = MB. Проведём через точку M прямую, перпендикулярную прямой a; она пересекает прямую a в точке E, а прямую b — в точке F. Шаг 3. Сравним треугольники AME и BMF. Стороны AM и MB равны. По условию равны углы 1 и 2 при вершинах A и B, а углы 3 и 4 при вершине M равны как вертикальные. Сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим углам другого, значит, треугольники равны по второму признаку. Шаг 4. В равных треугольниках углы при вершинах E и F соответствуют друг другу.