§ 23. Метод геометрических мест точек в задачах на построение

Мы знаем уже несколько геометрических мест точек: окружность, серединный перпендикуляр отрезка, биссектрису угла. В этом параграфе они превращаются в рабочий инструмент. Очень многие задачи на построение решаются одним и тем же приёмом — методом геометрических мест точек, коротко методом ГМТ.

Идея метода. Представь, что нужно найти дом, который стоит на Садовой улице и при этом ровно в трёхстах метрах от школы. Все места в трёхстах метрах от школы лежат на окружности с центром в школе, а все дома Садовой — вдоль линии улицы. Искомый дом там, где улица встречает эту окружность. Таких мест может найтись два, одно или ни одного.

В геометрии всё устроено так же. Пусть нужно построить точку X, у которой сразу два свойства. Метод ГМТ проходит в четыре шага: 1) выделяем в условии два свойства искомой точки; 2) строим фигуру F₁ — геометрическое место точек с первым свойством; 3) строим фигуру F₂ — геометрическое место точек со вторым свойством; 4) искомые точки — общие точки фигур F₁ и F₂. Сколько общих точек, столько и вариантов для X.

Чаще всего в построениях нужны четыре ГМТ, и все они нам знакомы. • Точки, удалённые от точки O на расстояние r, образуют окружность с центром O радиуса r. • Точки, равноудалённые от концов отрезка, образуют его серединный перпендикуляр (теорема 19.1). • Точки угла, равноудалённые от его сторон, образуют биссектрису угла (теорема 19.2). • Точки, удалённые от прямой a на расстояние h, образуют две прямые, параллельные a: одна идёт по одну сторону от a, другая — по другую.

Задача 1. Построить треугольник по трём сторонам. Даны три отрезка, их длины a, b и c (рис. 1, а). Нужно построить треугольник ABC, у которого BC = a, AC = b, AB = c. Шаг 1. Проведём прямую и отложим на ней циркулем отрезок BC длины a. Две вершины готовы, осталось найти третью — точку A. Шаг 2. Первое свойство точки A — она удалена от B на расстояние c. Геометрическое место таких точек — окружность с центром B радиуса c. Шаг 3. Второе свойство — A удалена от C на расстояние b. Это окружность с центром C радиуса b. Шаг 4. Окружности пересекаются в двух точках (рис. 1, б, зелёные точки). Любую из них принимаем за A. Треугольник ABC искомый, потому что по построению AB = c, AC = b, BC = a. Вторая точка пересечения лежит по другую сторону от прямой BC. Она даёт треугольник с теми же тремя сторонами, то есть равный первому по третьему признаку, поэтому решение у задачи одно.

Когда окружности встречаются. Построение удаётся не всегда. Окружности с центрами B и C имеют общие точки, только если самый длинный из трёх отрезков короче суммы двух остальных. Отсюда вывод, который пригодится в задачах: из трёх отрезков можно сложить треугольник, если каждый из них меньше суммы двух других. Подвигай ползунок: радиус окружности с центром B меняется, а вместе с ним меняется и число общих точек.

Пример 1. Можно ли построить треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 10 см? Дано: отрезки 4 см, 5 см и 10 см. Решение. Отложим BC = 10 см и проведём две окружности: с центром B радиуса 4 см и с центром C радиуса 5 см (рис. 5). Чтобы окружности встретились, их радиусы вместе должны перекрыть отрезок BC. Но 4 + 5 = 9 < 10, и между окружностями остаётся зазор в 1 см. Ответ: нельзя.

А из отрезков 6 см, 7 см и 11 см треугольник получится: самый длинный из них 11 см, и 6 + 7 = 13 > 11.