§ 3. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения

Измеряя доску рулеткой, ты получаешь не точное число, а промежуток: больше 148 см, но меньше 149 см. И всё же по таким данным можно уверенно судить о периметре и площади. Разберёмся, что для этого разрешено делать сразу с двумя верными неравенствами.

Определение. Если у двух неравенств знак повёрнут в одну сторону — скажем, a > b вместе с c > d, — их называют неравенствами одного знака. Пара a < b, c < d — тоже одного знака. Когда же знаки смотрят в разные стороны (например, a > b при c < d), перед нами неравенства противоположных знаков.

Теорема (о почленном сложении). Пусть a > b, а также c > d. Тогда a + c > b + d.

Идея доказательства проста: чтобы сравнить два числа, достаточно узнать знак их разности. Составим разность и сгруппируем слагаемые:

(a + c) − (b + d) = (a − b) + (c − d).

Обе скобки положительны — это дано в условии, а сумма положительных чисел положительна. Значит, вся разность больше нуля, что и означает a + c > b + d.

Оформляют это столбиком, как сложение чисел (рис. 1): под первым неравенством пишут второе, проводят черту и складывают отдельно левые, отдельно правые части. Знак результата прежний:

7 > 4 5 > 2 ——— 12 > 6.

Проверим: 7 + 5 = 12, 4 + 2 = 6, и 12 > 6 верно. Говорят, что это неравенство получено почленным сложением.

Складывать почленно можно и больше двух неравенств одного знака: из a₁ > b₁, a₂ > b₂ и a₃ > b₃ следует a₁ + a₂ + a₃ > b₁ + b₂ + b₃. Например, 10 > 1, 8 > 5 и 6 > 0 дают 24 > 6.

Теорема (о почленном умножении). Пусть a > b и c > d, причём каждое из чисел a, b, c, d положительно. Тогда ac > bd.

Доказываем тем же приёмом. Разность ac − bd дополним слагаемыми ad и −ad: от этого она не изменится, зато появится, что группировать:

ac − bd = ac − ad + ad − bd = a (c − d) + d (a − b).

Обе скобки положительны, множители a и d тоже. Значит, оба произведения положительны, вся разность больше нуля, и ac > bd.

Столбик для умножения устроен так же (рис. 2):

5 > 2 3 > 1 ——— 15 > 2.

Здесь 5 · 3 = 15, 2 · 1 = 2, и 15 > 2 верно.

Запомни: требование «все части положительны» выбрасывать из теоремы нельзя.