§ 2. Основные свойства числовых неравенств

Прочитай текст о свойствах числовых неравенств и реши 10 заданий. Внимательно следи, когда знак неравенства сохраняется, а когда меняется на противоположный.

Не получается разобраться? Бесплатный ИИ-репетитор по алгебре 9 класс разберёт ошибку по шагам и не даст списать.

Свойства числовых неравенств позволяют преобразовывать их так же уверенно, как уравнения. Разберём их по очереди.

Свойство. Пусть a > b, а b > c. Тогда a > c.

Доказательство. Разности a − b и b − c по условию положительны, а с ними положительна и их сумма: (a − b) + (b − c) = a − c. Значит, a − c > 0, то есть a > c.

На координатной прямой это видно сразу (рис. 1): 6 правее 1, а 1 правее −4, поэтому 6 правее −4.

Координатная прямая с точками C(−4), B(1), A(6); стрелки показывают, что 1 правее −4, 6 правее 1, значит 6 правее −4 — Рис. 1. Если a > b и b > c, то a > c: точка A правее точки C

Свойство. Если a > b, то при любом числе c верно неравенство a + c > b + c.

Доказательство. Найдём разность (a + c) − (b + c). Скобки раскрываются, c уходит, остаётся a − b — по условию число положительное. Значит, a + c > b + c.

Вычитание — это прибавление противоположного числа: a − c = a + (−c). Поэтому вычитать из обеих частей одинаковое число тоже разрешено.

Запомни: прибавление к обеим частям одного и того же числа знак неравенства не меняет. На рис. 2 обе точки уехали вправо на 4 единицы, порядок сохранился: было 3 > −2, стало 7 > 2.

Координатная прямая: точки b = −2 и a = 3 переносятся стрелками «+ 4» в точки 2 и 7, расстояние между ними сохраняется — Рис. 2. Прибавили 4 к обеим частям: было 3 > −2, стало 7 > 2

Следствие. Слагаемое переносят из одной части неравенства в другую, меняя у него знак на противоположный.

Доказательство. Пусть верно a > b + c.

Хочешь больше времени в телефоне?

В Family Track телефон открывается за уроки: прочитал параграф, сдал тест и получил минуты. Сколько минут стоит урок, решают родители. Отправь им ссылку, пусть посмотрят.

Отправить родителям Пройти урок бесплатно

Вопросы из теста

Правильные ответы и разбор ошибок — в приложении: при пересдаче вопросы меняются, поэтому списать не получится.

Свойство транзитивности неравенств утверждает: если a > b и b > c, то...

a < c
a = c
a > c
a > b > c > 0
b > a
c > a

При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства...

сохраняется без изменений
всегда становится равенством
остаётся, но части меняют знак
зависит от величины множителя
превращается в двойное неравенство
меняется на противоположный

← § 1. Числовые неравенства § 3. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения →