§ 1. Числовые неравенства

Сравнивать величины приходится каждый день: вершина Казбека (5033 м) ниже вершины Эльбруса (5642 м), а стадион вмещает больше зрителей, чем школьный зал. Итог сравнения записывают числовым неравенством.

Если a больше b, пишут a > b; если a меньше b, пишут a < b. Так, 15 > 4, −9 < −2, 3/7 < 5/7, √5 > 2. Верность таких записей опирается на правила сравнения действительных чисел, знакомые по предыдущим классам.

Правил много: для каждого вида чисел своё. Но есть универсальный приём. Он опирается на простое наблюдение: вычитая из большего числа меньшее, получаем положительный результат, а при обратном порядке — отрицательный. Его и кладут в основу определения.

Определение. Считают, что a > b, когда разность a − b положительна; считают, что a < b, когда эта разность отрицательна.

Коротко правило записывают так: a > b, если a − b > 0; a < b, если a − b < 0; a = b, если a − b = 0.

Теперь сравнение двух чисел сводится к одному действию — выяснить знак их разности. Разность бывает положительной, отрицательной или нулевой, четвёртого случая нет. Значит, какую бы пару чисел ни взяли, верной окажется ровно одна запись: либо a > b, либо a < b, либо a = b. На рис. 1 все три случая собраны рядом: слева знак разности, справа вывод.

Особенно выручает приём, когда числа записаны громоздкими выражениями. Сравним значения выражений (5 + 3√2)/2 и 3√2 − 1.

Решение. Составим разность и упростим её: (5 + 3√2)/2 − (3√2 − 1) = = (5 + 3√2)/2 − (6√2 − 2)/2 = = (5 + 3√2 − 6√2 + 2)/2 = = (7 − 3√2)/2. Осталось узнать знак дроби. Внесём множитель под корень: 3√2 = √18. Так как 18 < 49, то √18 < 7, и числитель 7 − 3√2 положителен. Знаменатель тоже положителен, поэтому дробь больше нуля.

Ответ: (5 + 3√2)/2 > 3√2 − 1.

У неравенства есть наглядный смысл: чем правее стоит точка координатной прямой, тем больше изображаемое ею число. Поэтому из a > b следует, что точка A(a) лежит правее точки B(b), а длина отрезка между ними равна разности a − b.