§ 20. Формула корней квадратного уравнения

Уравнение первой степени ax = b решается одной строкой: x = b / a. Хочется такой же готовый рецепт и для квадратного уравнения — чтобы по коэффициентам a, b и c сразу получать корни, не подбирая их и не выделяя каждый раз квадрат двучлена. Такой рецепт есть, и в этом параграфе мы его выведем.

Возьмём квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Умножим обе части на 4a. От умножения на число, отличное от нуля, корни не меняются, поэтому получится равносильное уравнение:

4a²x² + 4abx + 4ac = 0.

Теперь выделим в левой части квадрат двучлена. Добавим и вычтем b²:

4a²x² + 4abx + b² − b² + 4ac = 0; (2ax + b)² − b² + 4ac = 0; (2ax + b)² = b² − 4ac.

Слева стоит квадрат, а справа — выражение, составленное только из коэффициентов. Именно оно решает судьбу уравнения.

Определение. Дискриминантом квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 называют число D = b² − 4ac.

Слово пришло из латинского discriminare — «различать», «разделять»: дискриминант различает случаи, в которых корней два, один или нет совсем. С этим обозначением наше уравнение выглядит так:

(2ax + b)² = D.

Слева квадрат, а квадрат никогда не бывает отрицательным. Отсюда сразу три случая.

Если D < 0, равенство невозможно: слева число неотрицательное, справа отрицательное.

Запомни: при D < 0 квадратное уравнение корней не имеет.

Если D = 0, то (2ax + b)² = 0, значит 2ax + b = 0 и x = −b / (2a).

Запомни: при D = 0 квадратное уравнение имеет ровно один корень x = −b / (2a).

Если D > 0, то число D — квадрат числа √D, и равенство (2ax + b)² = (√D)² даёт два случая: 2ax + b = −√D или 2ax + b = √D. Из них получаем два корня:

x₁ = (−b − √D) / (2a), x₂ = (−b + √D) / (2a).

Обе записи объединяют в одну — её и называют формулой корней квадратного уравнения:

x = (−b ± √D) / (2a).

При D = 0 эта формула тоже работает: √0 = 0, и оба варианта дают один и тот же корень −b / (2a).

На рис. 1 видно, что стоит за этими случаями.