§ 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений

Линейное уравнение ax = b решать ты уже умеешь. При a ≠ 0 его называют уравнением первой степени, и корень у него ровно один: x = b / a. Скажем, 4x = 7 и 6x = 0 — уравнения первой степени, а 0x = 0 и 0x = 5 нет: у первого корень любой, у второго корней не бывает. Значит, уравнений первой степени меньше, чем линейных (рис. 1).

Определение. Квадратным уравнением называют равенство ax² + bx + c = 0, в котором x — переменная, a, b и c — заданные числа, причём старший коэффициент a нулю не равен.

У каждого коэффициента своё имя: a — первый, или старший, b — второй, c — свободный член (рис. 2). Скажем, в уравнении 3x² − 7x + 4 = 0 они таковы: a = 3, b = −7, c = 4. Слева стоит многочлен второй степени, поэтому квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени. Оговорка a ≠ 0 здесь главная: обратись старший коэффициент в нуль — и второй степени не останется.

Определение. Квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен единице, называют приведённым.

Таковы, например, x² − 4 = 0 и x² + 3x = 0. Любое квадратное уравнение можно сделать приведённым: раз a ≠ 0, разделим обе части на a. Корни от этого не меняются, а уравнение принимает вид

x² + (b / a) · x + c / a = 0.

Например, из 4x² − 10x + 6 = 0 после деления на 4 получается x² − 2,5x + 1,5 = 0.

Определение. Квадратное уравнение, у которого второй коэффициент или свободный член обращается в нуль, называют неполным.