§ 18. Функция y = √x и её график

Сторону квадратной клумбы находят по её площади: если площадь равна x, то сторона равна y = √x. Каждому значению площади отвечает ровно одна длина стороны, значит зависимость y от x функциональная, и равенство y = √x определяет функцию.

Под знаком корня допустимы только неотрицательные числа, зато для каждого такого числа арифметический квадратный корень существует и притом единственный.

Определение. Область определения функции y = √x — множество неотрицательных чисел, то есть все x, для которых x ≥ 0.

Теперь о значениях самой функции. Корень отрицательным не бывает, поэтому ни одно отрицательное число значением этой функции стать не может. А любое ли неотрицательное число им становится? Возьмём 4,5 и поищем аргумент, при котором √x = 4,5. Подходит x = 4,5² = 20,25. Так же и для произвольного числа b ≥ 0 годится x = b²: тогда √x = √(b²) = b.

Свойство. Область значений функции y = √x — тоже множество неотрицательных чисел: функция принимает все значения y ≥ 0 и никаких других.

Отсюда сразу видно, что наименьшее значение функции равно нулю и достигается при x = 0. Наибольшего значения нет вовсе: аргумент растёт неограниченно, а вместе с ним растёт и функция.

Заметим ещё: при x = 0 получаем y = 0, и это единственный нуль функции. А раз одновременно x ≥ 0 и y ≥ 0, весь график лежит в первой координатной четверти и начинается в начале координат (рис. 1).

Построим график сами. Возьмём аргументы, из которых корень извлекается устно, и заполним таблицу значений (рис. 2): удобны точные квадраты и квадраты десятичных дробей.

Отметим найденные пары (x; y) на координатной плоскости.