§ 21. Теорема Виета

Связь корней квадратного уравнения с его коэффициентами.

Реши устно уравнение x² − 7x + 10 = 0: его корни 2 и 5. Их сумма равна 7, а второй коэффициент равен −7; произведение равно 10, и свободный член тоже 10. У уравнения x² + 9x + 14 = 0 корни −7 и −2: сумма равна −9, произведение равно 14. Совпадения не случайны — корни и коэффициенты связаны всегда (рис. 1).

Схема: коэффициенты уравнения задают сумму и произведение корней — Рис. 1. Сумма и произведение корней считаются прямо по a, b и c

Теорема. Если x₁ и x₂ — корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, то

x₁ + x₂ = −b / a; x₁x₂ = c / a.

Это утверждение называют теоремой Виета. Докажем его. Раз у уравнения есть корни, его дискриминант D = b² − 4ac не может быть отрицательным. Пусть сначала D > 0. Тогда по формуле корней

x₁ = (−b − √D) / (2a), x₂ = (−b + √D) / (2a).

Сложим эти дроби: знаменатели одинаковы, а в числителе √D уходит.

x₁ + x₂ = = (−b − √D − b + √D) / (2a) = = −2b / (2a) = −b / a.

Перемножим их — в числителе получится разность квадратов:

x₁x₂ = = ((−b)² − (√D)²) / (4a²) = = (b² − D) / (4a²) = = (b² − b² + 4ac) / (4a²) = c / a.

Пусть теперь D = 0. Тогда корни совпали: x₁ = x₂ = −b / (2a). Их сумма равна 2 · (−b / (2a)) = −b / a, а произведение равно b² / (4a²) = 4ac / (4a²) = c / a. Получились те же формулы, значит теорема верна в обоих случаях.

Уравнение, у которого старший коэффициент равен единице, называют приведённым. Для него запись становится совсем короткой.

Следствие. Если x₁ и x₂ — корни приведённого уравнения x² + bx + c = 0, то

x₁ + x₂ = −b, x₁x₂ = c.

Запомни: у приведённого уравнения сумма корней — это второй коэффициент, у которого поменяли знак, а свободный член — это произведение корней. Коэффициенты приведённого уравнения часто обозначают буквами p и q: для x² + px + q = 0 получаем x₁ + x₂ = −p и x₁x₂ = q.

У формул есть наглядный смысл (рис. 2). Корни уравнения x² − 5x + 6 = 0 — числа 2 и 3; их полусумма 2,5 задаёт ось симметрии параболы, а произведение 6 — высоту, на которой график пересекает ось y.

График y = x² − 5x + 6 с корнями 2 и 3, осью симметрии и точкой (0; 6) — Рис. 2. Полусумма корней — ось симметрии, произведение — свободный член

Три уравнения в таблице на рис. 3 посчитаны дважды: слева — выражения −b / a и c / a прямо по коэффициентам, справа — сумма и произведение найденных корней. Столбцы совпали.

Таблица: −b/a, c/a, корни, их сумма и произведение для трёх уравнений — Рис. 3. Два способа счёта дают одинаковые столбцы

Нажми «Проиграть»: свободный член поедет вниз, корни разъедутся в стороны, но их сумма останется прежней — ведь коэффициент b не менялся.

Дальше — в приложении

Полный пересказ по учебнику «Алгебра 8 класс», тест из большого пула вопросов и разбор ошибок с ИИ-репетитором. За сданный тест ребёнок получает экранное время — родители задают, сколько минут стоит урок.

Пройти урок бесплатно Как это работает

Вопросы из теста

Правильные ответы и разбор ошибок — в приложении: при пересдаче вопросы меняются, поэтому списать не получится.

Чему равны сумма и произведение корней уравнения ax² + bx + c = 0?

x₁ + x₂ = b / a, x₁x₂ = −c / a
x₁ + x₂ = −c / a, x₁x₂ = b / a
x₁ + x₂ = a / b, x₁x₂ = a / c
x₁ + x₂ = b, x₁x₂ = c
x₁ + x₂ = −b / a, x₁x₂ = c / a
x₁ + x₂ = −b / (2a), x₁x₂ = c / (2a)

Какая пара чисел является корнями уравнения x² − 11x + 24 = 0?

−3 и −8
2 и 12
4 и 6
−11 и 24
1 и 24
3 и 8

← § 20. Формула корней квадратного уравнения § 22. Квадратный трёхчлен →