§ 26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Пара чисел (2; 3) обращает уравнение 2x − y = 1 в верное равенство: 2 · 2 − 3 = 1. Проверим этой же парой второе уравнение, x + y = 5: получаем 2 + 3 = 5 — снова верно. Про такую пару говорят, что она является общим решением двух уравнений.

Посмотрим на ту же пару глазами геометрии. Графиком каждого из двух уравнений служит прямая. Построим обе прямые на одной координатной плоскости (рис. 1). Они имеют ровно одну общую точку M (2; 3). Ничего удивительного тут нет: точка лежит на первой прямой, поэтому её координаты обращают в верное равенство первое уравнение; она лежит и на второй прямой, поэтому подходит и второму уравнению. Общая точка двух графиков и общее решение двух уравнений — это одно и то же, только сказанное по-разному.

Когда требуется отыскать все общие решения нескольких уравнений, задачу называют коротко: решить систему. Уравнения системы пишут одно под другим и объединяют слева фигурной скобкой:

2x − y = 1, x + y = 5.

Оба уравнения этой записи линейные, поэтому её называют системой двух линейных уравнений с двумя переменными. Но уравнения системы бывают и другими. Например, чтобы найти стороны прямоугольника с площадью 36 см² и периметром 26 см, приходится решать систему

xy = 36, 2x + 2y = 26,

здесь буквами x и y обозначены длины соседних сторон в сантиметрах. Первое уравнение уже не линейное, и такие системы разбирают в старших классах.

Определение. Пару значений переменных, при подстановке которой каждое уравнение системы становится верным равенством, называют решением этой системы.

Определение. Решить систему — значит найти каждое её решение или показать, что решений у неё нет.

Слово «каждое» здесь главное. Одну подходящую пару мы уже нашли, но, пока не выяснено, есть ли у прямых другие общие точки, работа не закончена.

Способ, которым мы действовали, называют графическим методом. Он состоит из трёх шагов: построить графики обоих уравнений на одной координатной плоскости; найти координаты всех общих точек этих графиков; записать полученные пары чисел — они и будут решениями.