§ 25. Линейное уравнение с двумя переменными и его график

В прошлом параграфе уравнения с двумя переменными попадались очень разные: и с квадратами, и с произведением xy. Теперь выделим среди них самый простой и самый употребительный вид.

Определение. Уравнение вида ax + by = c называют линейным уравнением с двумя переменными; здесь x и y — переменные, а a, b и c — заданные числа.

Числа a и b называют коэффициентами при переменных, число c — свободным членом. Линейными являются, например, знакомые по прошлому параграфу уравнения 2x + 3y = 130 и x + y = 15, а также 6x − y = 0, 0x + 4y = −8, 5x + 0y = 20 и даже 0x + 0y = 3. А вот уравнение xy = 6 линейным не является: в нём переменные перемножаются.

Выясним, как выглядит график линейного уравнения. Всё зависит от коэффициентов, поэтому разобрать придётся три случая.

Случай 1: b ≠ 0. Перенесём слагаемое ax в правую часть и разделим обе части на b — делить можно, ведь b ≠ 0.

by = −ax + c

y = −a/b · x + c/b

Обозначим k = −a/b и p = c/b. Получится знакомая формула y = kx + p, задающая линейную функцию (рис. 1). Её графиком служит прямая, причём невертикальная. Значит, при b ≠ 0 наше уравнение задаёт на плоскости невертикальную прямую, а число k называют её угловым коэффициентом.

Пример 1. Построим график уравнения 2x − 3y = 6.

Решение: график — прямая, а прямая полностью задаётся двумя своими точками. Удобнее всего взять те, где она встречается с осями координат. Если x = 0, то −3y = 6 и y = −2; получаем точку B (0; −2).