§ 24. Уравнения с двумя переменными

Раньше в уравнении была одна неизвестная буква, и ответом служило одно число — корень. Но описать словами задачу так экономно удаётся редко: чаще неизвестных две, а связывает их одно-единственное равенство. С такими равенствами мы и начнём работать.

Ситуация 1. Туристы ехали на автобусе 2 ч со скоростью x км/ч, а затем шли пешком 3 ч со скоростью y км/ч и преодолели за это время 130 км. На автобусе они проехали 2x км, пешком прошли 3y км, вместе получилось 130 км:

2x + 3y = 130

Ситуация 2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Обозначим его стороны x см и y см. Тогда 2x + 2y = 30, а после деления обеих частей на 2:

x + y = 15

Ситуация 3. Площадь прямоугольника равна 6 см². Для тех же сторон получаем совсем другое равенство:

xy = 6

Ситуация 4. Катеты прямоугольного треугольника равны x см и y см, а его гипотенуза — 5 см. По теореме Пифагора:

x² + y² = 25

Ситуация 5. Три значка по x р. и две наклейки по y р. вместе стоят 12 р.:

3x + 2y = 12

В каждом из пяти равенств стоят две буквы, и обе неизвестны. Равенства такого вида называют уравнениями с двумя переменными.

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений этих переменных, при которой уравнение превращается в верное числовое равенство.

Проверим на последнем уравнении. Подставим в 3x + 2y = 12 значения x = 2 и y = 3: слева получится 3 · 2 + 2 · 3 = 12, справа тоже 12 — равенство верное, значит такая пара является решением. А для x = 1 и y = 5 слева выходит 3 · 1 + 2 · 5 = 13, и равенство неверно: эта пара решением не является. Несколько проверок подряд собраны на рис. 1 — считать всякий раз надо одно и то же выражение, меняются только подставляемые числа.

Решение записывают короче — в скобках через точку с запятой: (2; 3). На первом месте всегда стоит значение переменной x, на втором — значение переменной y. Порядок здесь не мелочь: пара (2; 3) уравнению 3x + 2y = 12 удовлетворяет, а пара (3; 2) даёт 3 · 3 + 2 · 2 = 13 и решением не является.

Запомни: у уравнения с двумя переменными нет корней. Есть решения, и каждое из них состоит сразу из двух чисел, взятых в определённом порядке.

Решений у такого уравнения обычно много. Возьмём любое значение x — и уравнение превратится в обычное уравнение с одной переменной y, из которого y находится. При x = 0 из 3x + 2y = 12 получаем 2y = 12, y = 6. При x = 4 получаем 2y = 0, y = 0. При x = 10 получаем 2y = −18, y = −9. Так можно продолжать бесконечно, поэтому решений у этого уравнения бесконечно много.