§ 18. Сумма и разность кубов двух выражений

Куб суммы и сумма кубов — разные выражения. Разберёмся, как сумму или разность кубов превратить в произведение.

Перемножим двучлен a + b и трёхчлен a² − ab + b². Для этого умножим трёхчлен сначала на a, потом на b и сложим результаты:

a · (a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² b · (a² − ab + b²) = a²b − ab² + b³

Слагаемые −a²b и a²b противоположны, как и ab² с −ab², поэтому каждая пара даёт нуль (рис. 1). Остаются только кубы.

Тождество. a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

Это формула суммы кубов. Трёхчлен a² − ab + b² называют неполным квадратом разности: он похож на квадрат разности a² − 2ab + b², только средний член взят без множителя 2.

Правило. Сумму кубов раскладывают на два множителя: первый — сумма самих выражений, второй — неполный квадрат их разности.

Формулу разности кубов получим из первой, если вместо b подставить −b:

a³ − b³ = a³ + (−b)³ = = (a − b)(a² + ab + b²)

Тождество. a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)